Question

19．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$过抛物线$y=\frac{1}{4}{x^2}$的焦点B，离心率为$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，直线l交椭圆于P，Q（异于点B）两点，且BP⊥BQ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求△BPQ面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由抛物线方程：x²=4y，焦点坐标为（0，1），则b=1，又$\frac{c}{a}=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，a²=b²+c²，解得：a=3，即可求得椭圆C的方程；
（2）设l：y=kx+m，代入椭圆方程，由△＞0，求得9k²+1-m²＞0，利用韦达定理，由向量的数量积的坐标运算，$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{BQ}={x_1}{x_2}+（{y_1}-1）（{y_2}-1）=0$，利用韦达定理，5m²-m-4=0，求得$m=-\frac{4}{5}$，直线l过定点$M（0，-\frac{4}{5}）$，利用韦达定理，弦长公式根据基本不等式的性质即可求得S=$\frac{1}{2}$丨BM丨•丨x₁-x₂丨=$\frac{9}{10}$•$\sqrt{（-\frac{18km}{9{k}^{2}+1}）^{2}-4×\frac{9{m}^{2}-9}{9{k}^{2}+1}}$=$\frac{27}{5}$•$\frac{\sqrt{9{k}^{2}+1-{m}^{2}}}{9{k}^{2}+1}$$\frac{27}{5}•\frac{{\sqrt{9{k^2}+\frac{9}{25}}}}{{9{k^2}+1}}=\frac{{\frac{27}{5}}}{{\sqrt{9{k^2}+\frac{9}{25}}+\frac{{\frac{16}{25}}}{{\sqrt{9{k^2}+\frac{9}{25}}}}}}$$≤\frac{27}{8}$，求得△BPQ面积的最大值．

解答 解：（1）抛物线$y=\frac{1}{4}{x^2}$，标准方程：x²=4y，焦点坐标为（0，1），
将（0，1）代入椭圆方程，解得：b=1，
又$\frac{c}{a}=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，
a²=b²+c²，解得a=3，
∴椭圆方程为：$\frac{x^2}{9}+{y^2}=1$．
（2）设l：y=kx+m，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（9k²+1）x²+18kmx+9m²-9=0，
由△=（18km）²-4（9k²+1）（9m²-9）＞0，得9k²+1-m²＞0，
由韦达定理可知：${x_1}+{x_2}=\frac{-18km}{{9{k^2}+1}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{9{m^2}-9}}{{9{k^2}+1}}$，
BP⊥BQ，
∴$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{BQ}={x_1}{x_2}+（{y_1}-1）（{y_2}-1）=0$，
∴$（{k^2}+1）•\frac{{9{m^2}-9}}{{9{k^2}+1}}+k（m-1）•\frac{-18km}{{9{k^2}+1}}+{（m-1）^2}=0$，
整理得5m²-m-4=0，
∴$m=-\frac{4}{5}$或1（舍），
∴直线l过定点$M（0，-\frac{4}{5}）$，
∴S=$\frac{1}{2}$丨BM丨•丨x₁-x₂丨=$\frac{9}{10}$•$\sqrt{（-\frac{18km}{9{k}^{2}+1}）^{2}-4×\frac{9{m}^{2}-9}{9{k}^{2}+1}}$=$\frac{27}{5}$•$\frac{\sqrt{9{k}^{2}+1-{m}^{2}}}{9{k}^{2}+1}$$\frac{27}{5}•\frac{{\sqrt{9{k^2}+\frac{9}{25}}}}{{9{k^2}+1}}=\frac{{\frac{27}{5}}}{{\sqrt{9{k^2}+\frac{9}{25}}+\frac{{\frac{16}{25}}}{{\sqrt{9{k^2}+\frac{9}{25}}}}}}$$≤\frac{27}{8}$，
此时$\sqrt{9{k^2}+\frac{9}{25}}=\frac{{\frac{16}{25}}}{{\sqrt{9{k^2}+\frac{9}{25}}}}$，
∴${k^2}=\frac{7}{225}$，
即$k=±\frac{{\sqrt{7}}}{15}$时，△BPQ面积的最大值为$\frac{27}{8}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，三角形的面积公式及基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题．