Question

如图，过点P（0，a³）（0＜a＜2）的两直线与抛物线y=-ax²相切于A，B两点，且AD和BC均垂直于直线y=-8，垂足分别为D，C，得矩形ABCD．
（1）求A，B两切点的坐标（用a表示）；
（2）设矩形ABCD的面积为S（a），求S（a）的最大值．

Answer 1

解：（1）设切点为（x₀，y₀），则y₀=-ax₀²，∵y′=-2ax，∴切线方程为y-y₀=-2ax₀（x-x₀），
即y+ax₀²=-2ax₀（x-x₀）．∵切线经过点（0，a³），∴a³+ax₀²=-2ax₀（0-x₀），
即a³=ax₀²，于是x₀=±a，得y₀=-a³，∴A（a，-a³），B（-a，-a³ ）．
（2）可知AB=2a，BC=8-a³，∴S（a）=16a-2a⁴（0＜a＜2），∴S′（a）=16-8a³ ．
∴当0＜a＜时，S′（a）＞0； ＜a＜2时，S′（a）＜0，∴当时，S（a）有最大值．
分析：（1）设切点为（x₀，y₀），则y₀=-ax₀²，得到切线的方程，把切点的坐标代入求得x₀=±a，从而得到y₀=-a³，进而得到A、B的坐标．
（2）可知AB=2a，BC=8-a³，得S（a）=16a-2a⁴（0＜a＜2），利用导数研究函数的单调性，由单调性求得函数的最值．
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，利用导数研究函数的单调性，由单调性求得函数的最值，求出A、B的坐标，是
解题的关键．