Question

已知|

a

|=1，|

b

|=

2

．
（1）若向量

a

与

b

的夹角为

3π

4

，求(

a

+

b

)•(

a

+

b

)的值；
（2）若 

a

-

b

与

a

垂直，求

a

与

b

的夹角．

Answer 1

分析：（1）由数量积的定义，结合题意代入可得答案；
（2）设向量

a

与

b

的夹角为θ，由垂直可得数量积为0，代入式子可得夹角的余弦值，进而可得答案．

解答：解：（1）由题意可得：(

a

+

b

)•(

a

+

b

)
=|

a

|2+|

b

|2+2|

a

||

b

|cos ＜

a

，

b

＞
=1+2+2×1×

2

×（-

2

2

）=1
（2）设向量

a

与

b

的夹角为θ，
由 

a

-

b

与

a

垂直可得(

a

-

b

)•

a

=0，
即|

a

|2-|

a

||

b

|cosθ=0，即1-

2

cosθ=0，
解得cosθ=

2

2

，因为θ∈[0，π]，
故

a

与

b

的夹角θ=

π

4

点评：本题考查向量的数量积和夹角公式，正确进行数量积的运算时解决问题的关键，属中档题．