Question

（2013•东坡区一模）已知函数f（x）=ax²+（b+1）x+b-1，且a∈（0，3），则对于任意的b∈R，函数F（x）=f（x）-x总有两个不同的零点的概率是

1

3

．

Answer 1

分析：由于基本事件的区间（0，3）的区间长度为3，而事件F（x）=ax²+（b+1）x+b-1-x=ax²+bx+b-1，总有两个不同的零点，即△=b²-4ab+4a=（b-2a）²+4a-4a²＞0恒成立，从而可求a的范围，代入几何概率的求解公式可求

解答：解：∵F（x）=ax²+（b+1）x+b-1-x=ax²+bx+b-1，
函数F（x）总有两个不同的零点，
所以△=b²-4ab+4a＞0恒成立
令f（b）=b²-4ab+4a＞0
只需要△=16a²-16a＜0
∴0＜a＜1．
所以，由几何概率的公式可得，所求的概率P=

1-0

3-0

=

1

3

故答案为

1

3

点评：本题主要考查了与区间长度有关的几何概率的求解，解题的关键是由函数的零点的存在求解参数a的范围，属于几何概率与函数知识的综合应用．