【题目】如图,平面平面
,
,四边形
为平行四边形,
,
为线段
的中点,点
满足
.
(Ⅰ)求证:直线平面
;
(Ⅱ)求证:平面平面
;
(Ⅲ)若平面平面
,求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)见证明;(2)见证明; (3)
【解析】
(Ⅰ)连接,交
于点
,利用平几知识得线线平行,再根据线面平行判定定理得结论,(Ⅱ)建立空间直角坐标系,利用向量垂直进行论证线线垂直,再根据线面垂直判定定理以及面面垂直垂直判定定理得结果,(Ⅲ)建立空间直角坐标系,根据面面垂直得两平面法向量垂直,进而得P点坐标,最后利用空间向量数量积求线面角.
(Ⅰ)证明:连接,交
于点
,连接
在平行四边形中,因为
,所以
,
又因为,即
,
所以,
又因为平面
,
平面
,所以直线
平面
.
(Ⅱ)证明:因为,
为线段
的中点,所以
,
又因为平面平面
于
,
平面
所以
平面
在平行四边形中,因为
,所以
以为原点,分别以
所在直线为
轴,
轴,建立空间直角坐标系,
则
因为平面
所以设
,
则
所以
所以,又因为
所以平面
,又因为
平面
所以平面平面
.
(Ⅲ)解:因为
设为平面
的一个法向量
则不妨设
因为
设为平面
的一个法向量
则不妨设
因为平面平面
,所以
,所以
因为
所以
所以,
所以
所以直线与平面
所成角的正弦值为
.
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【题目】如图所示,多面体ABCDEF中,已知平面ABCD是边长为3的正方形,,
,EF到平面ABCD的距离为2,则该多面体的体积V为( )
A.B.5C.6D.
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【题目】某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行,每个阶段选手要回答一个问题.规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛,否则即遭淘汰.已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是且各阶段通过与否相互独立.
(1)求该选手在复赛阶段被淘汰的概率;
(2)设该选手在竞赛中回答问题的个数为ξ,求ξ的分布列与均值.
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【题目】将个编号为
、
、
、
的不同小球全部放入
个编号为
、
、
、
的
个不同盒子中.求:
(1)每个盒至少一个球,有多少种不同的放法?
(2)恰好有一个空盒,有多少种不同的放法?
(3)每盒放一个球,并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同,有多少种不同的放法?
(4)把已知中个不同的小球换成四个完全相同的小球(无编号),其余条件不变,恰有一个空盒,有多少种不同的放法?
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【题目】如图,四棱锥的底面是菱形,
底面
,
分别是
的中点,
,
,
.
(I)证明:;
(II)求直线与平面
所成角的正弦值;
(III)在边上是否存在点
,使
与
所成角的余弦值为
,若存在,确定点
位置;若不存在,说明理由.
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【题目】有下列四个命题:
①若p是q的充分不必要条件,则¬p是¬q的必要不充分条件;
②若命题p:x≥0,x2+1>0,则¬p:x0<0,x02+1≤0;
③在△ABC中,A>B是sinA>sinB的充要条件;
④命题:当1<t<4时方程1表示焦点在x轴上的椭圆,为真命题.
其中真命题的序号是_____.
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