【题目】已知函数,.
(1)若函数是上的增函数求的取值范围;
(2)若函数恰有两个不等的极值点、,证明:.
【答案】(1);(2)证明见解析.
【解析】
(1)问题转化为对恒成立.求导后分离参数得到,设,利用导数研究单调性,求得最小值,根据不等式恒成立的意义得到所求范围;
(2)由,为两个极值点不妨设,联立极值点的条件,并结合要证不等式,消去a,将要证不等式转化为只含有,的不等式,适当变形转化为只含有的不等式,作换元,转化为关于t的不等式,构造函数,利用导数研究单调性,进而证明即可.
解:(1),在上增函数等价于对恒成立.
即,设,,
0 | |||
- | 0 | + | |
极小值 |
,故
(2)由
,由,为两个极值点不妨设
则两式相减得
要证明:等价于证明
即两边同除
等价于证明:,设
即,
设
由(1)可知:当时,恒成立,成立,
即,∴
∴在单调递减
∴
故成立.
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【题目】给出下列命题,其中正确命题有( )
A.空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底
B.已知向量,则与任何向量都不能构成空间的一个基底
C.是空间四点,若不能构成空间的一个基底,那么共面
D.已知向量组是空间的一个基底,若,则也是空间的一个基底
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【题目】下列说法正确的是( )
A.某班位同学从文学、经济和科技三类不同的图书中任选一类,不同的结果共有种;
B.甲乙两人独立地解题,已知各人能解出的概率分别是,则题被解出的概率是;
C.某校名教师的职称分布情况如下:高级占比,中级占比,初级占比,现从中抽取名教师做样本,若采用分层抽样方法,则高级教师应抽取人;
D.两位男生和两位女生随机排成一列,则两位女生不相邻的概率是.
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【题目】如图,△ABC的内切圆分别与边BC、CA、AB切于点D、E、F,AD与BE交于点P,设点P关于直线EF、FD、DE的对称点分别X、Y、Z.证明:AX、BY、CZ三线共点.
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【题目】在第二届乌镇互联网大会中, 为了提高安保的级别同时又为了方便接待,现将其中的五个参会国的人员安排酒店住宿,这五个参会国要在、、三家酒店选择一家,且每家酒店至少有一个参会国入住,则这样的安排方法共有
A.种B.种
C.种D.种
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【题目】某市气象部门根据2018年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值(单位:)数据,绘制如下折线图:
那么,下列叙述错误的是( )
A. 各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关
B. 全年中,2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大
C. 全年中各月最低气温平均值不高于的月份有5个
D. 从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势
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【题目】已知圆A:x2+y2+2x-15=0和定点B(1,0),M是圆A上任意一点,线段MB的垂直平分线交MA于点N,设点N的轨迹为C.
(Ⅰ)求C的方程;
(Ⅱ)若直线y=k(x-1)与曲线C相交于P,Q两点,试问:在x轴上是否存在定点R,使当k变化时,总有∠ORP=∠ORQ?若存在,求出点R的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知抛物线C:y2=4x与椭圆E:1(a>b>0)有一个公共焦点F.设抛物线C与椭圆E在第一象限的交点为M.满足|MF|.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)过点P(1,)的直线交抛物线C于A、B两点,直线PO交椭圆E于另一点Q.若P为AB的中点,求△QAB的面积.
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