Question

（本小题满分12分）

       已知圆上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足．

   （I）求点G的轨迹C的方程；

   （II）过点（2，0）作直线l，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设 是否存在这样的直线l，使四边形OASB的对角线相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（I）

（II）存在直线使得四边形OASB的对角线相等．

【解析】（I）Q为PN的中点且GQ⊥PN

       GQ为PN的中垂线|PG|=|GN|

       ∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，

       其长半轴长，半焦距，

       ∴短半轴长b=2，

       ∴点G的轨迹方程是

   （II）因为，所以四边形OASB为平行四边形

       若存在l使得||=||，则四边形OASB为矩形

       若l的斜率不存在，直线l的方程为x=2，

       由[

       矛盾，故l的斜率存在．

       设l的方程为

      

          ①

      

          ②

       把①、②代入

       ∴存在直线使得四边形OASB的对角线相等．