Question

椭圆C的中心在原点，并以双曲线的焦点为焦点，以抛物线的准线到原点的距离为
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l：y=kx+2（k≠0）与椭圆C相交于A、B两点，使A、B两点关于直线l′：y=mx+1（m≠0）对称，求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）确定双曲线的焦点坐标，抛物线的准线方程，利用条件，求出椭圆的几何量，即可求椭圆C的方程；
（2）根据题设，可得，利用，结合弦AB的中点在直线上，即可求得k的值．
解答：解：（1）在双曲线中，，
∴焦点为．
在抛物线中，，∴准线为．
∴在椭圆中，．从而．
∴所求椭圆C的方程为．
（2）设弦AB的中点为P（x，y），则点P是直线l与直线l′的交点，且直线l⊥l′，∴．
由得：，∴ky=-3x．…①
由得：ky=-x+k．…②
由①、②得：．
又∵y=kx+2，∴，即k²=1，∴k=±1．
在y=kx+2中，当x=0时，y=2，即直线l经过定点M（0，2）．
而定点M（0，2）在椭圆的内部，故直线l与椭圆一定相交于两个不同的交点，
∴k的值为±1．
点评：本题考查椭圆的方程，考查双曲线、抛物线的性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．