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从A,B,C,D四个中选做2个A.选修4-1(几何证明选讲)
如图,AB是半圆的直径,C是AB延长线上一点,CD切半圆于点D,CD=2,DE⊥AB,垂足为E,且E是OB的中点,求BC的长.
B.选修4-2(矩阵与变换)
将曲线xy=1绕坐标原点按逆时针方向旋转45°,求所得曲线的方程.
C.选修4-4(坐标系与参数方程)
求直线
x=1+2t
y=1-2t
(t为参数)被圆
x=3cosa
y=3sina
(α为参数)截得的弦长.
D.选修4-5(不等式选讲)
已知x,y均为正数,且x>y,求证:2x+
1
x2-2xy+y2
≥2y+3
分析:A、连接OD、BD,确定△BOD是等边三角形,再在直角三角形OCD中,可得OD的长,最后根据题中圆的切线条件,依据切割线定理求得BC的长;
B、确定旋转变换矩阵,设xy=1上的任意点P'(x',y')在变换矩阵M作用下为P(x,y),确定坐标之间的关系,即可求得曲线的方程;
C、化参数方程为普通方程,求出圆心到直线的距离,即可求得截得的弦长;
D、设x=y+z(z>0),则原式=2(y+z)+
1
z2
=2y+2z+
1
z2
,利用基本不等式可得结论.
解答:A、解:连接OD、BD,
∵DE⊥AB,垂足为E,且E是OB的中点
∴可得等腰三角形BOD是等边三角形,
∵在直角三角形OCD中,CD=2,
∴可得OD=
2
3
3

∵CD是圆O的切线,∴由切割线定理得CD2=CB×CA,
即4=CB×(CB+
4
3
3
),∴BC=
2
3
3

B、解:由题意,得旋转变换矩阵M=
cos45°-sin45°
sin45°cos45°
=
2
2
-
2
2
2
2
2
2

设xy=1上的任意点P'(x',y')在变换矩阵M作用下为P(x,y),则
2
2
-
2
2
2
2
2
2
x′
y′
=
x
y

∴x=
2
2
x′-
2
2
y′,y=
2
2
x′-
2
2
y′,
∵xy=1,∴
y2
2
-
x2
2
=1

C、直线
x=1+2t
y=1-2t
(t为参数)的普通方程为x+y-2=0,圆
x=3cosa
y=3sina
(α为参数)的普通方程为x2+y2=9
∴圆心到直线的距离为
2
2
=
2
,∴截得的弦长为2
9-2
=2
7

D、证明:设x=y+z(z>0),则原式=2(y+z)+
1
z2
=2y+2z+
1
z2

∵2z+
1
z2
=z+z+
1
z2
≥3
∴2y+2z+
1
z2
≥2y+3
∴2x+
1
x2-2xy+y2
≥2y+3
点评:本题考查选讲知识,考查几何证明选讲、旋转变换、参数方程、不等式的证明,综合性强.
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(1)试用数学归纳法证明:an=
3n+3(-1)n
4
(n∈N*,n≥1)

(2)现从a,b,c,d四个字母组成的含n+1(n∈N*,n≥2)个字母的所有字符串中随机抽取一个字符串,字符串最后一个的字母恰好是a的概率为P,求证:
2
9
≤P≤
1
3

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A.选修4—1 几何证明选讲
如图,设△ABC的外接圆的切线AEBC的延长线交于点E,∠BAC的平分线与BC交于点D。求证:
B.选修4—2 矩阵与变换
在平面直角坐标系中,设椭圆在矩阵对应的变换作用下得到曲线F,求F的方程。
C.选修4—4 参数方程与极坐标
在平面直角坐标系中,点是椭圆上的一个动点,求的最大值。
D.选修4—5 不等式证明选讲
abc为正实数,求证:

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