Question

已知函数f（x）=ax+

b

x

（其中a、b为常数）的图象经过（1，2）、(2，

5

2

)两点．
（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（2）证明：函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数奇偶性的定义判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（2）根据函数单调性的定义证明即可．

解答： 解：由已知有

a+b=2 2a+ b 2 = 5 2

，解得

a=1 b=1

，
∴f(x)=x+

1

x

．  …（3分）
（1）f（x）是奇函数．…（4分）
证明：由题意f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称，…（5分）
又f(-x)=-x-

1

x

=-(x+

1

x

)=-f(x)，…（6分）
∴f（x）是奇函数．           …（7分）
（2）证明：任取x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，…（8分），
f(x1)-f(x2)=(x1+

1

x1

)-(x2+

1

x2

)=(x1-x2)+(

1

x1

-

1

x2

)=(x1-x2)(

x1x2-1

x1x2

)，…（10分）
∵x₁-x₂＜0，x₁x₂-1＞0，x₁x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），…（11分）
故函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增．…（12分）

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用定义法是解决本题的关键．