Question

【题目】如图，已知椭圆，是长轴的一个端点，弦过椭圆的中心，且．

（1）求椭圆的方程．

（2）过椭圆右焦点的直线，交椭圆于两点，交直线于点，判定直线的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）是，理由见详解.

【解析】

（1）由题意可得，求出点的坐标，代入椭圆方程得到，从而求得椭圆的方程；

（2）设出直线的方程，和椭圆方程联立，利用根与系数的关系得到，并求得的值， 由说明直线的斜率成等差数列．

（1）由，得，即，

所以是等腰三角形，

又，∴点的横坐标为2；

又，

设点的纵坐标为，∴，解得，

应取，

又点在椭圆上，∴，解得，

∴所求椭圆的方程为；

（2）由题意知椭圆的右焦点为，，

由题意可知直线的斜率存在，

设直线的方程为，

代入椭圆并整理，得；

设，，直线的斜率分别为，

则有，，

可知的坐标为；

∴

，

又；

所以，

即直线的斜率成等差数列．