精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
f(x)=x3-
32
(a+1)x2+3ax+1

(Ⅰ)若函数f(x)在区间(1,4)内单调递减,求a的取值范围;
(Ⅱ)若函数f(x)在x=a处取得极小值是1,求a的值,并说明在区间(1,4)内函数f(x)的单调性.
分析:(1)先求出导函数f'(x),然后根据函数f(x)在区间(1,4)内单调递减,则f'(4)≤0,可求出a的范围;
(2)根据函数f(x)在x=a处有极值是1,可知f(a)=1建立等式,解之即可求出a,然后将求出的a分别进行验证,从而求出在区间(1,4)内函数f(x)的单调性.
解答:解:f'(x)=3x2-3(a+1)x+3a=3(x-1)(x-a)(2分)
(1)∵函数f(x)在区间(1,4)内单调递减,
∴f'(4)≤0,∴a∈[4,+∞);(5分)
(2)∵函数f(x)在x=a处有极值是1,
∴f(a)=1,即a3-
3
2
(a+1)a2+3a2+1=-
1
2
a3+
3
2
a2+1=1

∴a2(a-3)=0,所以a=0或3,(8分)
当a=0时,f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,1)上单调递减,
所以f(0)为极大值,这与函数f(x)在x=a处取得极小值是1矛盾,所以a¹0.(10分)
当a=3时,f(x)在(1,3)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增,
所以f(3)为极小值,所以a=3.
此时,在区间(1,4)内函数f(x)的单调性是:f(x)在(1,3)内减,在[3,4)内增.
点评:本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系,即当导函数大于0时原函数单调递增,当导函数小于0时原函数单调递减,以及极值等有关知识,属于中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

设f(x)=x3+ax2+5x+6在区间[1,3]上为单调函数,则实数a的取值范围为   (    )

    A. [-,+∞]                     B. (-∞ ,-3)   

    C. (-∞ ,-3)∪[-,+∞]          D. [-,]

 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

f(x)=x3+bx2+cx+d,又k是一个常数.已知当k<0或k>4时,f(x)-k=0只有一个实根;当0<k<4时,f(x)-k=0有三个相异实根,现给出下列命题:(1)f(x)-4=0和f′(x)=0有一个相同的实根;(2)f(x)=0和f′(x)=0有一个相同的实根;(3)f(x)+3=0的任一实根大于f(x)-1=0的任一实根;(4)f(x)+5=0的任一实根小于f(x)-2=0的任一实根.其中错误命题的个数是

A.4                 B.3             C.2             D.1

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

设f(x)=x3+3x2+px, g(x)=x3+qx2+r,且y=f(x)与y=g(x)的图象关于点(0,1)对称.(1)求pqr的值;(2)若函数g(x)在区间(0,m)上递减,求m的取值范围;(3)若函数g(x)在区间  上的最大值为2,求n的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

设f(x)=x3+ax2+5x+6在区间[1,3]上为单调函数,则实数a的取值范围为   (    )

    A. [-,+∞]                      B. (-∞ ,-3)   

    C. (-∞ ,-3)∪[-,+∞]          D. [-,]

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

设f(x)=x3+ax2+5x+6在区间[1,3]上为单调函数,则实数a的取值范围为   (    )

    A. [-,+∞]                                        B. (-∞ ,-3)   

    C. (-∞ ,-3)∪[-,+∞]          D. [-,]

查看答案和解析>>

同步练习册答案