Question

如图所示,一条直角走廊宽为a米.现有一转动灵活的平板车,其平板面为矩形,它的宽为b(0＜b＜a)米.

(第20题图)

(1)若平板车卡在直角走廊内,且∠CAB=θ,试求平板面的长l;

(2)若平板车要想顺利通过直角走廊,其长度不能超过多少米?

Answer 1

解:(1)如图,设矩形为ABEF,设直线EF分别交直线AC、BC于M、N,过D点作DP⊥AC于P,?

过D点作DQ⊥BC于Q,则DM=,DN=,MF=bcotθ,FN=atanθ,           

所以l=EF=DM+DN-MA-BN=-btanθ-bcotθ=,

故平板车的长为.                                        

〔另法提示:可建立直角坐标系,利用直线方程来求解〕

(2)设sinθ+cosθ=t,∵0＜θ＜,

∴t=sin(θ+)∈(1,］,                                               

l=.

∵函数y=和y=在(1,］上均单调递减,

∴函数l=+在(1,］上单调递减.                               

∴l_min=+2a-2b=2a(-1)+2a-2b=2a-2b.

故平板车的长度不能超过(2a-2b)米.                                       

〔另法提示一:设at-b=x,则y=,研究单调性并利用它求解;二:直接利用定义研究单调性,然后利用它求解;三:利用方程有解条件的方法求解〕。