Question

已知函数f（x）=

1

2

ax²+bln（x+2），其中a，b∈R，
（Ⅰ）当a=0时，y=f（x）在x=-1处的切线与直线y=2x+1垂直，求b的值；
（Ⅱ）当b=-3a，且a≠0时，讨论函数y=f（x）的单调性；
（Ⅲ）若a＞0，对于任意b∈[-1，0]，不等式f（x）≤1在[-

3

2

，0]上恒成立，求a的取值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）当a=0时，y=f（x）=bln（x+2），结合y=f（x）在x=-1处的切线与直线y=2x+1垂直，可得f′（-1）=-

1

2

，解得b的值；
（Ⅱ）当b=-3a，且a≠0时，f′（x）=

a(x+3)(x-1)

x+2

，根据导数符号与原函数单调性的关系，分a＞0和a＜0两种情况，可得函数y=f（x）的单调性；
（Ⅲ）若a＞0，对于任意b∈[-1，0]，由不等式f（x）≤1在[-

3

2

，0]上恒成立，可得f（-

3

2

）=

9

8

a+bln

1

2

≤1恒成立，即a≤

8

9

（1-bln

1

2

）恒成立，进而求出a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）当a=0时，y=f（x）=bln（x+2），
∴f′（x）=

b

x+2

，
若y=f（x）在x=-1处的切线与直线y=2x+1垂直，
则f′（-1）=b=-

1

2

，
（Ⅱ）当b=-3a时，f′（x）=ax+

b

x+2

=ax-

3a

x+2

=

ax2+2ax-3a

x+2

=

a(x+3)(x-1)

x+2

，
当a＞0时，
若x∈（-2，1），则f′（x）＜0，
若x∈（1，+∞），则f′（x）＞0，
此时函数在（-2，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；
当a＜0时，
若x∈（-2，1），则f′（x）＞0，
若x∈（1，+∞），则f′（x）＜0，
此时函数在（-2，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；
（Ⅲ）若a＞0，b∈[-1，0]，
f′（x）=ax+

b

x+2

=

ax2+2ax-b

x+2

＜0在[-

3

2

，0]上恒成立，
则函数f（x）在[-

3

2

，0]上为减函数，
若f（x）≤1在[-

3

2

，0]上恒成立，
则f（-

3

2

）=

9

8

a+bln

1

2

≤1恒成立，
即a≤

8

9

（1-bln

1

2

）恒成立
即a≤

8

9

（1+ln

1

2

），
故a的取值范围为（0，

8

9

（1+ln

1

2

）]

点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究曲线上某点切线方程，是导数的综合应用，难度中档．