Question

（2012•蓝山县模拟）定义F（x，y）=（1+x）^y，其中x，y∈（0，+∞）．
（1）令函数f（x）=F（1，log₂（x³+ax²+bx+1）），其图象为曲线C，若存在实数b使得曲线C在x₀（-4＜x₀＜-1）处有斜率为-8的切线，求实数a的取值范围；
（2）令函数g（x）=F（1，log₂[（lnx-1）e^x+x]），是否存在实数x₀∈[1，e]，使曲线y=g（x）在点x=x₀处的切线与y轴垂直？若存在，求出x₀的值；若不存在，请说明理由．
（3）当x，y∈N，且x＜y时，求证：F（x，y）＞F（y，x）．

Answer 1

分析：（1）先求出f（x）的解析式，设曲线C在x₀（-4＜x₀＜-1）处有斜率为-8的切线，建立等式，根据log₂（x³+ax²+bx+1）＞0消去b得-2x02-ax₀-8＜0，使得2x²₀+ax₀+8＞0 在-4＜x₀＜-1有解，求出a的取值范围即可；
（2）先求g′（x）=（

1

x

+lnx-1）e^x+1，令h（x）=

1

x

+lnx-1，然后利用导数研究h（x）在区间[1，e]上的最小值，从而求出g′（x₀）的取值范围，曲线y=g（x）在点x=x₀处的切线与y轴垂直等价于方程g′（x₀）=0有实数解，而g′（x₀）＞0，即方程g′（x₀）=0无实数解，从而得到结论；
（3）令h（x）=

ln(1+x)

x

，x≥1，则h′（x）=

x 1+x -ln(1+x)

x2

，令p（x）=

x

1+x

-ln（1+x），x≥0，利用导数研究p（x）在[0，+∞）上的单调性，从而得到函数h（x）在[1，+∞）上的单调性，即可证得结论．

解答：解：（1）f（x）=F（1，log₂（x³+ax²+bx+1））=x³+ax²+bx+1，
设曲线C在x₀（-4＜x₀＜-1）处有斜率为-8的切线，
又由题设知log₂（x³+ax²+bx+1）＞0，f′（x）=3x²+2ax+b，3x²₀+2ax₀+b=-8  ①
∴存在实数b使得-4＜x₀＜-1       ②有解，（3分）
x³₀+ax²₀+bx₀＞0  ③
由①得b=-8-3x02-2ax₀，代入③得-2x02-ax₀-8＜0，
∴由   2x²₀+ax₀+8＞0 在-4＜x₀＜-1有解，
得2×（-4）²+a×（-4）+8＞0或2×（-1）²+a×（-1）+8＞0，
∴a＜10或a＜10，∴a＜10、（5分）
（2）∵g（x）=（lnx-1）e^x+x，
∴g′（x）=（lnx-1）′e^x+（lnx-1）（e^x）′+1=

ex

x

+（lnx-1）e^x+1=（

1

x

+lnx-1）e^x+1．（6分）
设h（x）=

1

x

+lnx-1、则h′（x）=-

1

x2

+

1

x

=

x-1

x2

，
当x∈[1，e]时，h′（x）≥0．
h（x）为增函数，因此h（x）在区间[1，e]上的最小值为ln1=0，即

1

x

+lnx-1≥0．
当x₀∈[1，e]时，ex₀＞0，

1

x0

+lnx₀-1≥0，
∴g′（x₀）=（

1

x0

+lnx₀-1）ex₀+1≥1＞0．（8分）
曲线y=g（x）在点x=x₀处的切线与y轴垂直等价于方程g′（x₀）=0有实数解，
而g′（x₀）＞0，即方程g′（x₀）=0无实数解．
故不存在实数x₀∈[1，e]，使曲线y=g（x）在点x=x₀处的切线与y轴垂直．（9分）
（3）证明：令h（x）=

ln(1+x)

x

，x≥1，由h′（x）=

x 1+x -ln(1+x)

x2

，
又令p（x）=

x

1+x

-ln（1+x），x≥0，
∴p′（x）=

1

(1+x)2

-

1

1+x

=

-x

(1+x)2

≤0，
∴p（x）在[0，+∞）上单调递减，
∴当x＞0时，有p（x）＜p（0）=0，
∴当x≥1时，有h′（x）＜0，
∴h（x）在[1，+∞）上单调递减，（11分）
∴当1≤x＜y时，有

ln(1+x)

x

＞

ln(1+y)

y

，
∴yln（1+x）＞xln（1+y），∴（1+x）^y＞（1+y）^x，
∴当x，y∈N^?，且x＜y时，F（x，y）＞F（y，x）．（13分）

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数求闭区间上函数的最值，同时考查了转化的数学思想，属于中档题．