Question

若方程ax²-2x+3=0在（0，2）内恰有一解，则实数a的取值范围为

{a|a＜

1

4

}

．

Answer 1

分析：令f（x）=ax²-2x+3，则有题意可得函数f（x）在（0，2）内恰有一个零点，分a=0和a≠0两种情况分别求出a的取值范围，再取并集，即得所求．

解答：解：令f（x）=ax²-2x+3，则有题意可得函数f（x）在（0，2）内恰有一个零点．
①当a=0时，f（x）=-2x+3 有唯一的零点x=

3

2

，满足条件．
②当a≠0时，由二次函数f（x）=ax²-2x+3在（0，2）内恰有一个零点，
（1）若判别式大于零时，由

△ = 4-12a＞0 f(0)•f(2) = 3(4a-1)＜ 0

，解得a＜

1

4

．
（2）若判别式等于零时，应有

△ = 4-12a=0 f(0)•f(2) = 3(4a-1)＞0

，解得 a=

1

3

．
但把 a=

1

3

代入原方程求得方程有唯一解为x=3，不在（0，2）内，故a=

1

3

不满足条件．
综上可得，实数a的取值范围为{a|a＜

1

4

}．
故答案为 {a|a＜

1

4

}．

点评：本题主要考查函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化的数学思想，属于基础题．