Question

一个盒子内装有八张卡片，每张卡片上面分别写着下列函数中的一个：f₁（x）=x，f₂（x）=2^x，f₃（x）=ln（|x|+3），f₄（x）=sinx，f₅（x）=|sinx|，f₆（x）=cosx，f₇（x）=cos|x|，f₈（x）=3，而且不同卡片上面写着的函数互不相同，每张卡片被取出的概率相等．
（1）如果从盒子中一次随机取出两张卡片，并且将取出的两张卡片上的函数相加得到一个新函数，求所得新函数是奇函数的概率；
（2）现从盒子中一次随机取出一张卡片，每次取出的卡片都不放回盒子，若取出的卡片上写着的函数是偶函数则停止取出卡片，否则继续取出卡片．设取出了ξ次才停止取出卡片，求ξ的数学期望．

Answer 1

分析：（1）由题意记事件A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，利用列举的方法分析清楚题意借助古典概型的概率计算公式即可求得；
（2）由题意分析出题设中的离散型随机变量ξ可取1，2，3，4，利用古典概型的计算公式求出每一个值对应下的事件的概率，再有分布列定义列出该随机变量的分布列，并利用期望定义求得期望．

解答：解：（1）记事件A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，
∵在所给的八个函数中，奇函数有两个：f₁（x）=x，f₄（x）=sinx；
偶函数有五个：f₃（x）=ln（|x|+3），f₅（x）=|sinx|，f₆（x）=cosx，f₇（x）=cos|x|，f₈（x）=3；
既不是奇函数也不是偶函数的有一个：f₂（x）=2^x．
由题意知P(A)=

1

C 2 8

=

1

28

．
答：所得新函数是奇函数的概率等于

1

28

．
（2）ξ可取1，2，3，4，根据题意得P(ξ=1)=

C 1 5

C 1 8

=

5

8

，P(ξ=2)=

C 1 3

C 1 8

•

C 1 5

C 1 7

=

15

56

，P(ξ=3)=

C 1 3

C 1 8

•

C 1 2

C 1 7

•

C 1 5

C 1 6

=

5

56

，
P(ξ=4)=

C 1 3

C 1 8

•

C 1 2

C 1 7

•

C 1 1

C 1 6

•

C 1 5

C 1 5

=

1

56

．
故ξ的分布列为

ξ	1	2	3	4
P	5 8	15 56	5 56	1 56

Eξ=1×

5

8

+2×

15

56

+3×

5

56

+4×

1

56

=

3

2

．

点评：本题主要考查函数的性质、排列组合、古典概型、随机变量的分布列等基础知识，考查学生运用所学知识解决实际应用问题的能力．