Question

3．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{3}{2}$ax²+（2a²+a-1）x+3，（a∈R）求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 通过求函数f（x）的导函数，分a是否为2两种情况讨论，利用导数的正负与函数单调性的关系可得结论．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{3}{2}$ax²+（2a²+a-1）x+3，
∴f′（x）=x²-3ax+2a²+a-1=（x-$\frac{3}{2}$a）²-$\frac{1}{4}$（a-2）²，
下面对a的取值情况分类讨论：
（1）当a=2时，f′（x）=（x-3）²≥0恒成立，
即此时f（x）在R上单调递增；
（2）当a≠2时，令f′（x）=（x-$\frac{3}{2}$a）²-$\frac{1}{4}$（a-2）²=0，解得：x=a+1或2a-1，
①当a＜2时，有：a+1＞2a+1，
此时当x＜2a-1或x＞a+1时f′（x）＞0，当2a-1＜x＜a+1时f′（x）＜0，
∴f（x）的单调递增区间为（-∞，2a-1），（a+1，+∞），单调递减区间为（2a-1，a+1）；
②当a＞2时，有：a+1＜2a-1，
此时当x＜a+1或x＞2a-1时f′（x）＞0，当a+1＜x＜2a-1时f′（x）＜0，
∴f（x）的单调递增区间为（-∞，a+1），（2a-1，+∞），单调递减区间为（a+1，2a-1）．

点评 本题考查利用导数判断函数的单调性，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．