Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，底面ABCD是平行四边形，∠BAD=30°，AB=2，AD=

3

，E是SC的中点．
（Ⅰ）求证：SA∥平面BDE；
（Ⅱ）求证：AD⊥SB；
（Ⅲ）若SD=2，求棱锥C-BDE的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）连接AC交BD于F，连接EF，证明SA∥EF，然后证明SA∥平面BDE．
（Ⅱ）利用余弦定理推出AD⊥BD．证明AD⊥SD，然后证明AD⊥SB．
（Ⅲ）若SD=2，求出E到底面的距离，求出底面面积，利用等体积求解求棱锥C-BDE的体积．

解答：解：（Ⅰ）连接AC交BD于F，连接EF，由ABCD是平行四边形，知F为AC的中点，
又E为SC的中点，所以SA∥EF，
∵SA?平面BDE，EF?平面BDE，
∴SA∥平面BDE．（4分）
（Ⅱ）由AB=2，AD=

3

，∠BAD=30°，及余弦定理得
取BD²=AB²+AD²-2AB•ADcos∠BAD=1，
∵AD²+BD²=AB²，∴AD⊥BD．
∵SD⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，
∴AD⊥SD，
∴AD⊥平面SBD，又SB?平面SBD，
∴AD⊥SB．（8分）
（Ⅲ）SD=2，所以E到底面的距离为1，
S△BCD=

1

2

BC•CD•sin∠BCD=

1

2

×2×

3

×

1

2

=

3

2

，
VC-BDE=VE-BCD= 

1

3

×

3

2

×1= 

3

6

（12分）

点评：本题考查直线与平面平行，直线与直线垂直直线与平面垂直的应用，几何体的体积的求法，考查计算能力，空间想象能力．