【题目】选修4-5:不等式选讲
已知函数(其中).
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若关于的不等式恒成立,求的取值范围.
【答案】(1).
(2).
【解析】试题分析:(1)方法一:分类讨论去掉绝对值,转化为一般的不等式,即可求解不等式的解集;
方法二:去掉绝对值,得到分段函数,画出函数的图象,结合图象即可求解不等式的解集.
(2)不等式即关于的不等式恒成立,利用绝对值不等式,得,进而求解实数的取值范围.
试题解析:
(1)当时,函数,
则不等式为,
①当时,原不等式为,解得: ;
②当时,原不等式为,解得: .此时不等式无解;
③当时,原不等式为,解得: ,
原不等式的解集为.
方法二:当时,函数 ,画出函数的图象,如图:
结合图象可得原不等式的解集为.
(2)不等式即为 ,
即关于的不等式恒成立.
而 ,
所以,
解得或,
解得或.
所以的取值范围是.
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【题目】在极坐标系中,已知圆的圆心为,半径为.以极点为原点,极轴方向为轴正半轴方向,利用相同单位长度建立平面直角坐标系,直线的参数方程为(为参数,且).
(Ⅰ)写出圆的极坐标方程和直线的普通方程;
(Ⅱ)若直线与圆交于、两点,求的最小值.
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【题目】如图,在四棱锥中,侧面底面,底面是平行四边形, , , , 为的中点,点在线段上.
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)试确定点的位置,使得直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等.
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【题目】从1到7的7个数字中取两个偶数和三个奇数组成没有重复数字的五位数.
试问:(1)能组成多少个不同的五位偶数?
(2)五位数中,两个偶数排在一起的有几个?
(3)两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有几个?(所有结果均用数值表示)
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【题目】已知下面四个命题:
①“若,则或”的逆否命题为“若且,则”
②“”是“”的充分不必要条件
③命题“若,则”的逆否命题为真命题
④若为假命题,则、均为假命题,其中真命题个数为( )
A. B. C. D.
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【题目】如果直线与椭圆只有一个交点,称该直线为椭圆的“切线”.已知椭圆,点是椭圆上的任意一点,直线过点且是椭圆的“切线”.
(1)证明:过椭圆上的点的“切线”方程是;
(2)设,是椭圆长轴上的两个端点,点不在坐标轴上,直线,分别交轴于点,,过的椭圆的“切线”交轴于点,证明:点是线段的中点;
(3)点不在轴上,记椭圆的两个焦点分别为和,判断过的椭圆的“切线”与直线,所成夹角是否相等?并说明理由.
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【题目】如图,某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(管道构成Rt△FHE,H是直角项点)来处理污水.管道越长,污水净化效果越好.设计要求管道的接口H是AB的中点,E,F分别落在线段BC,AD上.已知AB=20米,AD=米,记∠BHE=.
(1)试将污水净化管道的长度L表示为的函数,并写出定义域;
(2)当取何值时,污水净化效果最好?并求出此时管道的长度L.
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【题目】玉山一中篮球体育测试要求学生完成“立定投篮”和“三步上篮”两项测试,“立定投篮”和“三步上篮”各有2次投篮机会,先进行“立定投篮”测试,如果合格才能参加“三步上篮”测试.为了节约时间,每项测试只需且必须投中一次即为合格.小华同学“立定投篮”和“三步上篮”的命中率均为.假设小华不放弃任何一次投篮机会且每次投篮是否命中相互独立.
(1)求小华同学两项测试均合格的概率;
(2)设测试过程中小华投篮次数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.
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【题目】下列命题正确的是( )
A. 命题的否定是:
B. 命题中,若,则的否命题是真命题
C. 如果为真命题,为假命题,则为真命题,为假命题
D. 是函数的最小正周期为的充分不必要条件
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