Question

下列说法正确的为

①③④

．
①函数y=f（x）与直线x=l的交点个数为0或l；
②a∈（

1

4

，+∞）时，函数y=lg（x²+x+a）的值域为R；
③函数y=f（2-x）与函数y=f（x-2）的图象关于直线x=2对称；
④若函数f（x）=a^x，则?x₁，?x₂∈R，都有f（

x1+x2

2

）＜

f(x1)+f(x2)

2

；
⑤若函数f(x)=log

2

x，则?x₁，x₂∈（0，+∞），都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0．

Answer 1

分析：①根据函数的定义可知，对任意的x都有唯一的y与之对应，当x=1不在定义域内时，y=f（x）与x=1没有交点，当x=1在定义域时，函数y=f（x）与直线x=l的交点为l个；
②a∈（

1

4

，+∞）时，例如a=

5

4

时，函数y=lg（x²+x+a）＞0；
③函数y=f（2-x）图象上任取一点P（x，y），其关于直线x=2对称对称的点Q（4-x，y），把Q代入y=f（x-2）=f（4-x-2）=f（2-x），可判断
④利用基本不等式可得，

f(x1)+f(x2)

2

=

ax1+ax2

2

≥

ax1•ax2

=a

x1+x2

2

=f（

x1+x2

2

）=a

x1+x2

2

⑤函数f(x)=log

2

x在（0，+∞）单调递增，则由单调性的定义可知有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0

解答：解：①根据函数的定义可知，对任意的x都有唯一的y与之对应，当x=1不在定义域内时，y=f（x）与x=1没有交点，当x=1在定义域时，函数y=f（x）与直线x=l的交点为l个，从而可得y=f（x）与x=1的交点有1个或0个，故①正确
②a∈（

1

4

，+∞）时，例如a=

5

4

时，t=x2+x+a=(x+

1

2

)2+a-

1

4

＞1，则函数y=lg（x²+x+a）＞0；此时函数的值域不为R，②错误
③函数y=f（2-x）图象上任取一点P（x，y），关于直线x=2对称对称的点Q（4-x，y），把Q代入y=f（x-2）=f（4-x-2）=f（2-x），即函数y=f（2-x）上的任意一点关于直线x=2对称对称的点在y=f（x-2）上，即y=f（2-x）与函数y=f（x-2）的图象关于直线x=2对称；③正确
④若函数f（x）=a^x，

f(x1)+f(x2)

2

=

ax1+ax2

2

≥

ax1•ax2

=a

x1+x2

2

=f（

x1+x2

2

）=a

x1+x2

2

，正确
⑤函数f(x)=log

2

x在（0，+∞）单调递增，则由单调性的定义可知有，当x₁＞x₂时，f（x₁）＞f（x₂），即

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，错误
故答案为①③④

点评：本题主要考查了函数的定义，对数函数的单调性在值域求解中的应用指数函数单调性及基本不等式的应用．