Question

4．已知直线l的参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=1+2t}\end{array}\right.$（t为参数）和曲线C的极坐标方程：ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）．
（1）证明：判定曲线C的形状，并证明直线l和C相交；
（2）设直线l与C交于A、B两点，P（0，1），求$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$．

Answer 1

分析 （1）把曲线C的极坐标方程、直线的参数方程都化为普通方程，再用几何法或判别式法判断直线与圆的位置关系．
（2）联立l与C的方程，求出点A、B的坐标，再计算$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$；或用参数方程直接求$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的值；或用几何法求$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的值．

解答 解：（1）曲线C的极坐标方程ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），
化为普通方程是x²+y²-2x-2y=0，
即（x-1）²+（y-1）²=2；
所以C是以（1，1）为圆心，半径为$\sqrt{2}$的圆；…（2分）
直线的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=1+2t}\end{array}\right.$（t为参数），
消去参数t得直线的普通方程为y=2x+1；…（4分）
设圆心C（1，1）到直线l的距离为d，
则d=$\frac{|2-1+1|}{{\sqrt{{2^2}+{1^2}}}}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}＜\sqrt{2}$，（或用判别式法） …（6分）
所以直线l与曲线C相交．…（7分）
（2）联立l与C的方程得方程组$\left\{\begin{array}{l}y=2x+1\\{x^2}+{y^2}-2x-2y=0\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{1+\sqrt{6}}}{5}\\ y=\frac{{7+2\sqrt{6}}}{5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{1-\sqrt{6}}}{5}\\ y=\frac{{7-2\sqrt{6}}}{5}\end{array}\right.$，
即A（$\frac{{1+\sqrt{6}}}{5}$，$\frac{{7+2\sqrt{6}}}{5}$），B（$\frac{{1-\sqrt{6}}}{5}$，$\frac{{7-2\sqrt{6}}}{5}$）；…（10分）
所以$\overrightarrow{PA}$=（$\frac{{1+\sqrt{6}}}{5}$，$\frac{{2+2\sqrt{6}}}{5}$），$\overrightarrow{PB}$=（$\frac{{1-\sqrt{6}}}{5}$，$\frac{{2-2\sqrt{6}}}{5}$）；…（12分）
所以$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=（$\frac{{1+\sqrt{6}}}{5}$，$\frac{{2+2\sqrt{6}}}{5}$）•（$\frac{{1-\sqrt{6}}}{5}$，$\frac{{2-2\sqrt{6}}}{5}$）=$-\frac{1}{5}+4（-\frac{1}{5}）$=-1．…（14分）
又解：（用参数方程直接求）
将直线参数方程直接代入圆C的普通方程得
t²+（2t+1）²-2t-2（2t+1）=0，
化简得：5t²-2t-1=0，
所以t₁t₂=$-\frac{1}{5}$…（10分）
所以$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=$\sqrt{5}{t_1}•\sqrt{5}{t_2}$=5t₁t₂=-1（或者用直线参数方程的标准形式）…（14分）
（几何法）过圆心C作AB的垂线交AB于H，则H平分AB，
所以$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=$（\overrightarrow{PH}+\overrightarrow{HA}）•（\overrightarrow{PH}+\overrightarrow{HB}）$
=$（\overrightarrow{PH}+\overrightarrow{HA}）•（\overrightarrow{PH}-\overrightarrow{HA}）$
=${\overrightarrow{PH}^2}-{\overrightarrow{HA}^2}$
=PH²-HA²
=PH²-（R²-HC²）
=PC²-R²
=-1．

点评 本题考查了直线与圆的应用问题，也考查了参数方程与极坐标的应用问题，是综合性题目．