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4.已知直线l的参数方程:$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=1+2t}\end{array}\right.$(t为参数)和曲线C的极坐标方程:ρ=2$\sqrt{2}$sin(θ+$\frac{π}{4}$).
(1)证明:判定曲线C的形状,并证明直线l和C相交;
(2)设直线l与C交于A、B两点,P(0,1),求$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$.

分析 (1)把曲线C的极坐标方程、直线的参数方程都化为普通方程,再用几何法或判别式法判断直线与圆的位置关系.
(2)联立l与C的方程,求出点A、B的坐标,再计算$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$;或用参数方程直接求$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的值;或用几何法求$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的值.

解答 解:(1)曲线C的极坐标方程ρ=2$\sqrt{2}$sin(θ+$\frac{π}{4}$),
化为普通方程是x2+y2-2x-2y=0,
即(x-1)2+(y-1)2=2;
所以C是以(1,1)为圆心,半径为$\sqrt{2}$的圆;…(2分)
直线的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=1+2t}\end{array}\right.$(t为参数),
消去参数t得直线的普通方程为y=2x+1;…(4分)
设圆心C(1,1)到直线l的距离为d,
则d=$\frac{|2-1+1|}{{\sqrt{{2^2}+{1^2}}}}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}<\sqrt{2}$,(或用判别式法) …(6分)
所以直线l与曲线C相交.…(7分)
(2)联立l与C的方程得方程组$\left\{\begin{array}{l}y=2x+1\\{x^2}+{y^2}-2x-2y=0\end{array}\right.$,
解得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{1+\sqrt{6}}}{5}\\ y=\frac{{7+2\sqrt{6}}}{5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{1-\sqrt{6}}}{5}\\ y=\frac{{7-2\sqrt{6}}}{5}\end{array}\right.$,
即A($\frac{{1+\sqrt{6}}}{5}$,$\frac{{7+2\sqrt{6}}}{5}$),B($\frac{{1-\sqrt{6}}}{5}$,$\frac{{7-2\sqrt{6}}}{5}$);…(10分)
所以$\overrightarrow{PA}$=($\frac{{1+\sqrt{6}}}{5}$,$\frac{{2+2\sqrt{6}}}{5}$),$\overrightarrow{PB}$=($\frac{{1-\sqrt{6}}}{5}$,$\frac{{2-2\sqrt{6}}}{5}$);…(12分)
所以$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=($\frac{{1+\sqrt{6}}}{5}$,$\frac{{2+2\sqrt{6}}}{5}$)•($\frac{{1-\sqrt{6}}}{5}$,$\frac{{2-2\sqrt{6}}}{5}$)=$-\frac{1}{5}+4(-\frac{1}{5})$=-1.…(14分)
又解:(用参数方程直接求)
将直线参数方程直接代入圆C的普通方程得
t2+(2t+1)2-2t-2(2t+1)=0,
化简得:5t2-2t-1=0,
所以t1t2=$-\frac{1}{5}$…(10分)
所以$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=$\sqrt{5}{t_1}•\sqrt{5}{t_2}$=5t1t2=-1(或者用直线参数方程的标准形式)…(14分)
(几何法)过圆心C作AB的垂线交AB于H,则H平分AB,
所以$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=$(\overrightarrow{PH}+\overrightarrow{HA})•(\overrightarrow{PH}+\overrightarrow{HB})$
=$(\overrightarrow{PH}+\overrightarrow{HA})•(\overrightarrow{PH}-\overrightarrow{HA})$
=${\overrightarrow{PH}^2}-{\overrightarrow{HA}^2}$
=PH2-HA2
=PH2-(R2-HC2
=PC2-R2
=-1.

点评 本题考查了直线与圆的应用问题,也考查了参数方程与极坐标的应用问题,是综合性题目.

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