Question

设函数f（x）=x|x|+bx+c，给出下列四个命题（　　）
①当b≥0时，函数y=f（x）是单调函数；
②当b=0，c＞0时，方程f（x）=0只有一个实根；
③函数y=f（x）的图象关于点（0，c）对称；
④方程f（x）=0至多有3 个实根，其中正确命题的个数为．

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

分析：①去掉其绝对值符号，判断出其在每一段内都单调且连续即可．
②把b=0，c＞0代入，去掉其绝对值符号，解对应方程即可得结论．
③利用g（x）=x|x|+bx关于（0，0）对称，和g（x）=x|x|+bx与y=f（x）的关系可得结论．
④对于b，c分各种情况来讨论，并求出对应方程的根，可下结论．

解答：解：因为f（x）=x|x|+bx+c=

x2+bx+c x≥0 -x2+bx+c x＜0

，
对于①当x≥0时，f'（x）=2x+b≥0，所以y=f（x）递增，当x＜0时，f'（x）＞0，所以y=f（x）递增又y=f（0）=c连续．故当b≥0时，函数y=f（x）是单调函数； ①对．
对于②因为f（x）=

x2+c x≥0 -x2+c x＜0

当x≥0时无根，当x＜0时，有一根x=-

c

．故当b=0，c＞0时，方程f（x）=0只有一个实根；②对．
对于③设g（x）=x|x|+bx，因为g（-x）=-x|-x|+b（-x）=-g（x），所以g（x）=x|x|+bx关于（0，0）对称，又函数y=f（x）的图象可以由g（x）=x|x|+bx的图象上下平移c个单位得到．故函数y=f（x）的图象关于点（0，c）对称；故③对．
对于④分各种情况来讨论b，c，并求出对应方程的根，就可说明④成立．故④对．
故选  D．

点评：本题是对带绝对值的二次函数的综合考查．通常带绝对值的函数研究其性质时，要去掉其绝对值符号进行．