Question

（2013•韶关一模）已知定义在实数集上的函数fn(x)=xn，n∈N^*，其导函数记为f′_n（x），且满足．
（Ⅰ）设函数g（x）=f_2n-1（x）•f_n（1-x），求g（x）的极大值与极小值；
（Ⅱ）试求关于x的方程

f′n(1+x)

f′n+1(1+x)

=

2n-1

2n+1-1

在区间（0，1）上的实数根的个数．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意，可求得g′（x），令g′（x）=0，得x₁=0，x₂=

2n-1

3n-1

，x₃=1，且x₁＜x₂＜x₃，分n为正偶数与n为正奇数讨论，随x的变化，y′与y的变化情况即可求g（x）的极大值与极小值；
（Ⅱ）依题意，可求得x=

1+(n-1)2n

(n+1)(2n-1)

＞0，对于n∈N^*，有2ⁿ⁺¹＞n+2，于是x-1=

n+2-2n+1

(n+1)(2n-1)

＜0，从而可求得0＜x＜1，于是在区间（0，1）上方程只有唯一实根．

解答：解：（Ⅰ）∵y=g（x）=f_2n-1（x）•f_n（1-x）=（1-x）ⁿ•x^2n-1，
则y′=-n（1-x）^n-1•x^2n-1+（2n-1）x^2n-2•（1-x）ⁿ=x^2n-2•（1-x）^n-1[（2n-1）-（3n-1）x]，…（3分）
令y′=0，得x₁=0，x₂=

2n-1

3n-1

，x₃=1，且x₁＜x₂＜x₃，
当n为正偶数时，随x的变化，y′与y的变化如下：

x	（-∞，0）	0	（0， 2n-1 3n-1 ）	2n-1 3n-1	（ 2n-1 3n-1 ，1）		（1，+∞）
y′	+	0	+	0	-	0	+
y				极大值		极小值

所以当x=

2n-1

3n-1

时，y_极大=

(2n-1)2n-1•nn

(3n-1)3n-1

；当x=1时，y极小=0．
当n为正奇数时，随x的变化，y'与y的变化如下：

x	（-∞，0）	0	（0， 2n-1 3n-1 ）	2n-1 3n-1	（ 2n-1 3n-1 ，1）		（1，+∞）
y′	+	0	+	0	-	0	+
y				极大值

所以x=

2n-1

3n-1

时，y_极大=

(2n-1)2n-1•nn

(3n-1)3n-1

；无极小值．
（II）

f′n(1+x)

f′n+1(1+x)

=

2n-1

2n+1-1

，即

n(1+x)n-1

(n+1)(1+x)n

=

2n-1

2n+1-1

（x≠-1），
所以方程为

n

(n+1)

•

1

1+x

=

2n-1

2n+1-1

（x≠-1），
∴x=

n(2n+1-1)-(n+1)(2n-1)

(n+1)(2n-1)

=

1+(n-1)2n

(n+1)(2n-1)

＞0，
又x-1=

n+2-2n+1

(n+1)(2n-1)

，而对于n∈N^*，有2ⁿ⁺¹＞n+2（利用二项式定理可证），
∴x＜1．
综上，对于任意给定的正整数n，方程只有唯一实根，且总在区间（0，1）内，所以原方程在区间（0，1）上有唯一实根．

点评：本题考查利用导数研究函数的极值，考查根的存在性及根的个数判断，（Ⅰ）中对n分n为正偶数与n为正奇数讨论，随x的变化，y′与y的变化情况求g（x）的值是难点，考查推理分析与复杂的运算能力，属于难题．