Question

（2010•九江二模）定义域为R的函数f(x)=

1 |x-1 (x≠1) 1(x=1)

，若关于x的方程f2(x)+bf(x)+

1

2

=0有5个不同的根x₁、x₂、x₃、x₄、x₅，则x₁²+x₂²+x₃²+x₄²+x₅²等于

15

．

Answer 1

分析：根据函数f（x）=

1 |x-1| (x≠1) 1(x=1)

的表达式可对x分x=1与x≠1讨论，由方程f2(x)+bf(x)+

1

2

=0分别求得x₁、x₂、x₃、x₄、x₅，从而可求得则x₁²+x₂²+x₃²+x₄²+x₅²的值．

解答：解：①若x=1，f（x）=1，故1²+b+

1

2

=0，b=-

3

2

；
②若x≠1，f（x）=

1

|1-x|

，方程f2(x)+bf(x)+

1

2

=0可化为：(

1

|1-x|

)2-

3

2

•

1

|1-x|

+

1

2

=0，
即（

1

|1-x|

-1）•（2•

1

|1-x|

-1）=0，
∴

1

|1-x|

=1或

1

|1-x|

=

1

2

，
解

1

|1-x|

=1得：x=0或x=2；解

1

|1-x|

=

1

2

得：x=-1或x=3；
∴x₁²+x₂²+x₃²+x₄²+x₅²的=1²+0²+2²+（-1）²+3²=15．
故答案为：15．

点评：本题考查根的存在性及根的个数判断，关键是通过对x分x=1与x≠1讨论，由方程f2(x)+bf(x)+

1

2

=0分别求得x₁、x₂、x₃、x₄、x₅，