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设 $数学公式$ ，x=f（x）有唯一解， $数学公式$ ，f（x_n）=x_n+1（n∈N）．
（Ⅰ）求x₂₀₀₄的值；
（Ⅱ）若 $数学公式$ ，且 $数学公式$ ，求证：b₁+b₂+…+b_n-n＜1；
（Ⅲ）是否存在最小整数m，使得对于任意n∈N有 $数学公式$ 成立，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

解（Ⅰ）由 $\text{[math]}$ ，可以化为ax（x+2）=x，
∴ax²+（2a-1）x=0，
由△=（2a-1）²=0得
当且仅当 $\text{[math]}$ 时，x=f（x）有惟一解x=0，
从而 $\text{[math]}$ …（1分）
又由已知f（x_n）=x_n+1得： $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$
∴数列 $\text{[math]}$ 是首项为 $\text{[math]}$ ，公差为 $\text{[math]}$ 的等差数列…（3分）
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
又∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ …（4分）
∵ $\text{[math]}$ …（5分）
故 $\text{[math]}$ …（6分）
（Ⅱ）证明：∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ …（7分）
∴ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ …（8分）
∴ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ …（10分）
（Ⅲ）由于 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 恒成立，
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴m＞2，而m为最小正整数，
∴m=3…（12分）
分析：（I）由 $\text{[math]}$ ，可以化为ax（x+2）=x，令△=（2a-1）²=0求出a的值，代入f（x）得到 $\text{[math]}$ ，利用对称数列的通项公式求出 $\text{[math]}$ ，进一步求出x₂₀₀₄的值；
（II）由已知求出b_n根据其特点将其写成 $\text{[math]}$ ，利用裂项求和的方法求出b₁+b₂+…+b_n-n得证．
（III）将 $\text{[math]}$ 代入 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ 恒成立，求出 $\text{[math]}$ ，
进一步求出m的值．
点评：求数列的前n项和的方法，应该先求出数列的通项，根据数列通项的特点选择合适的求和方法，属于难题．

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