设函数
，其中
.
（1）若
，求
在
的最小值；
（2）如果
在定义域内既有极大值又有极小值，求实数
的取值范围；
（3）是否存在最小的正整数
，使得当
时，不等式
恒成立.
（1）
；（2）
；(3)存在最小的正整数
，使得当时，不等式恒成立.
解析试题分析：(1) 由题意易知，
(
)得
（
舍去）
所以当
时，单调递减；当
时，单调递增，则；
（2）由在定义域内既有极大值又有极小值可转化为的导函数
在
有两个不等实根，即
在有两个不等实根，可求出
的范围.
(3) 由不等式
，令
即可构造函数
，再利用导数证明
在
即可.
试题解析：（1）由题意知，的定义域为，当时，由
，得（舍去），当时，
，当时，
，所以当时，单调递减；当时，单调递增，
∴．
（2）由题意
在有两个不等实根，即在有两个不等实根，设
，又对称轴
，则
，解之得．
（3）对于函数
，令函数
，则
，
，所以函数
在
上单调递增，又
时，恒有
，即
恒成立.取
，则有
恒成立.显然，存在最小的正整数，使得当时，不等式恒成立.
考点：1.利用导数求函数最值 2.利用导数求参数范围 3.构造函数证明不等式恒成立
习题精选系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知函数
，
，其中
且
．
(Ⅰ)当
，求函数
的单调递增区间；
(Ⅱ)若
时，函数
有极值，求函数图象的对称中心的坐标；
（Ⅲ）设函数
（
是自然对数的底数），是否存在a使
在
上为减函数，若存在，求实数a的范围；若不存在，请说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
设函数f（x）＝
＋
，g（x）＝
ln（2ex）（其中e为自然对数的底数）
（1）求y＝f（x）－g（x）（x＞0）的最小值；
（2）是否存在一次函数h（x）＝kx＋b使得f（x）≥h（x）且h（x）≥g（x）对一切x＞0恒成立；若存在，求出一次函数的表达式，若不存在，说明理由：
3）数列{
}中，a1＝1，＝g（
）（n≥2），求证：＜
＜＜1且
＜
．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知函数
，（
且
）.
（1）设
，令
，试判断函数
在
上的单调性并证明你的结论；
（2）若
且
的定义域和值域都是，求
的最大值；
（3）若不等式
对
恒成立，求实数
的取值范围；
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知函数
的图象如图，直线
在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为
.
（1）求
的解析式；
（2）若常数
，求函数
在区间
上的最大值.
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，
，函数
的图像在点
处的切线平行于
轴．
的值；
的直线与函数
的图象交于两点
，（
）,证明：
．
(其中
).
时,求函数
的单调区间；
时,求函数
上的最大值
.
=
,
=
,若曲线
和曲线
都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线
．
,
,
,
的值；
时，
≤
，求
的取值范围．
.
在
上单调递增，求实数
的取值范围.
，若
的最小值是
，求函数