Question

（2012•河南模拟）给出以下四个命题：
①已知命题p：?x∈R，tanx=2；命题q：?x∈R，x²-x+1≥0，则命题p∧q是真命题；
②过点（-1，2）且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程是x+y-1=0；
③函数f（x）=2^x+2x-3在定义域内有且只有一个零点；
④若直线xsin α+ycos α+l=0和直线xcosα-

1

2

y-1=0垂直，则角α=kπ+

π

2

或α=2kπ+

π

6

(k∈Z)．
其中正确命题的序号为

①③

．（把你认为正确的命题序号都填上）

Answer 1

分析：由正切的定义和二次函数零点的结论，可得①是真命题；由直线在坐标轴上的截距定义，可得②是假命题；根据函数的单调性和零点存在性定理，可得③是真命题；根据两条直线垂直的充要条件，结合三角函数图象与性质，可得④是假命题．

解答：解：对于①，根据正切的定义知命题p是真命题，
而命题q：?x∈R，x²-x+1≥0，因为△=（-1）²-4×1×1=-3＜0，
所以抛物线y=x²-x+1开口向上并且与x轴无公共点，故p也是真命题．
因此命题p∧q是真命题，①正确；
对于②，过点（-1，2）且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程除了x+y-1=0还有y=-2x，故②不正确；
对于③，f（x）=2^x+2x-3在R上是增函数，而且f（0）=-2＜0，f（1）=1＞0
所以函数f（x）=2^x+2x-3在定义域内有且只有一个零点，故③是真命题；
对于④，直线xsin α+ycos α+l=0和直线xcosα-

1

2

y-1=0垂直，则sinαcosα-

1

2

cosα=0，
可得sinα=

1

2

或cosα=0，所以α=2kπ+

π

6

或α=2kπ+

5π

6

或α=kπ+

π

2

由此可得④不正确．
故答案为：①③

点评：本题以命题真假的判断为载体，考查了二次函数的图象与性质、函数的单调性与零点存在性定理、两条直线位置关系和简单的三角方程等知识，属于基础题．