Question

7．已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=$\frac{1}{4}$，且$\frac{1}{n{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{（n-1）{a}_{n}}$=-$\frac{1}{n-1}$+$\frac{1}{n}$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：a₁²+a₂²+…+a_n²＜$\frac{7}{6}$．

Answer 1

分析 （1）通过对$\frac{1}{n{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{（n-1）{a}_{n}}$=-$\frac{1}{n-1}$+$\frac{1}{n}$整理、变形可知a_n+1=$\frac{n-1}{\frac{n}{{a}_{n}}-1}$，利用a₁=1、a₂=$\frac{1}{4}$计算出前几项的值，猜想a_n=$\frac{1}{3n-2}$并用数学归纳法证明即可；
（2）通过（1）放缩可知a_n²＜$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-4}$-$\frac{1}{3n-1}$）（n≥2），进而并项相加即得结论．

解答 （1）解：∵$\frac{1}{n{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{（n-1）{a}_{n}}$=-$\frac{1}{n-1}$+$\frac{1}{n}$，
∴$\frac{（n-1）{a}_{n}-n{a}_{n+1}}{n（n-1）{a}_{n}{a}_{n+1}}$=-$\frac{1}{n（n-1）}$，
∴$\frac{（n-1）{a}_{n}-n{a}_{n+1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=-1，
∴$\frac{n-1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{n}{{a}_{n}}$=-1，即a_n+1=$\frac{n-1}{\frac{n}{{a}_{n}}-1}$，
又∵a₁=1，a₂=$\frac{1}{4}$，
∴a₃=$\frac{2-1}{\frac{2}{{a}_{2}}-1}$=$\frac{1}{\frac{2}{\frac{1}{4}}-1}$=$\frac{1}{7}$，
a₄=$\frac{3-1}{\frac{3}{{a}_{3}}-1}$=$\frac{2}{\frac{3}{\frac{1}{7}}-1}$=$\frac{1}{10}$，
…，
猜想：a_n=$\frac{1}{3n-2}$，
下面用数学归纳法来证明：
①当n=1时，结论显然成立；
②假设当n=k（k≥2）时有a_k=$\frac{1}{3k-2}$，
则a_k+1=$\frac{k-1}{\frac{k}{{a}_{k}}-1}$=$\frac{k-1}{\frac{k}{\frac{1}{3k-2}}-1}$=$\frac{k-1}{3{k}^{2}-2k-1}$=$\frac{1}{3（k+1）-2}$，
即当n=k+1时结论也成立；
由①②可知a_n=$\frac{1}{3n-2}$；
（2）证明：由（1）可知a_n=$\frac{1}{3n-2}$，
∴a_n²=$\frac{1}{（3n-2）^{2}}$＜$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-4}$-$\frac{1}{3n-1}$）（n≥2），
∴a₁²+a₂²+…+a_n²≤1+$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{3n-4}$-$\frac{1}{3n-1}$）
=1+$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3n-1}$）
＜$\frac{7}{6}$．

点评 本题是一道关于数列与不等式的综合题，涉及数学归纳法、裂项相消法等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．