Question

【题目】如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱AB上的动点．
（1）求证：DA1⊥ED1；
（2）若直线DA1与平面CED1成角为45°，求的值．

Answer 1

【答案】
证明：（1）以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立如图所示的坐标系，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，1，2），A1（1，0，1），
设E（1，m，0）（0≤m≤1）
=（1，0，1），=（﹣1，﹣m，1），
=﹣1+0+1=0，
所以DA1⊥ED1．
解：（2）设平面CED1的一个法向量为=（x，y，z），
∵=(0,-1,1)，=（1，m﹣1，0），
∴，取z=1，得y=1，x=1﹣m，得=（1﹣m，1，1）．
∵直线DA1与平面CED1成角为45o，∴sin45°===，
解得m=．
∴的值为．

【解析】（1）根据已知条件中的垂直关系，建立空间直角坐标系，要证明DA1⊥ED1，只需证明=0即可，建立空间直角坐标系后，写出有关点的坐标，得到向量和的坐标，利用向量的数量积的计算公式进行计算．
（2）先利用求平面法向量的计算公式，求出平面CED1的法向量，由已知直线与平面成角为45°，利用夹角公式得到方程，解出的值．