Question

设函数，其中0＜a＜1，
（1）证明：f（x）是（a，+∞）上的减函数；
（2）解不等式f（x）＞1．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用减函数的定义即可证明；
（2）化成同底的对数式，利用对数函数的单调性可得真数的大小关系，解出即可．
解答：（1）证明：由1-＞0，得x＞a，所以函数f（x）的定义域为（a，+∞）．
设a＜x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=-，
因为=＜0，所以1-＜1-，
又0＜a＜1，所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以f（x）是（a，+∞）上的减函数；
（2）f（x）＞1，即＞1，也即即＞log_aa，
又0＜a＜1，所以0＜1-＜a，解得a＜x＜．
所以不等式的解集为：（a，）．
点评：本题考查对数函数的单调性及其应用，相关性质是解决基础．