Question

一圆与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线y=x截得的弦长等于2

7

，则这个圆的标准方程为：

 

．

Answer 1

分析：设出圆的标准方程，表示出圆心坐标和半径r，由圆心在直线3x-y=0上，把圆心坐标代入方程得到关于a与b的关系式，用a表示出b，又根据圆与x轴相切，得到圆心的纵坐标的绝对值等于半径r，用a表示出半径r，将表示出的b及r代入圆的方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线x-y=0的距离d，根据垂径定理得到弦的一半，圆的半径r及弦心距构成直角三角形，根据勾股定理列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，代入即可确定出圆的方程．

解答：解：设圆的方程为：（x-a）²+（y-b）²=r²，
所以圆心坐标为（a，b），半径为r（r＞0），
由圆心在3x-y=0上，得到3a-b=0，即b=3a；
又圆与x轴相切，得到r=|b|=|3a|，
则圆的方程变形为：（x-a）²+（y-3a）²=9a²，
所以圆心到直线x-y=0的距离d=

|a-3a|

2

，
根据垂径定理及勾股定理得：(

|2a|

2

)2+(

2 7

2

)2=9a²，
化简得：a²=1，解得a=±1，
则所求圆的方程为：（x+1）²+（y+3）²=9或（x-1）²+（y-3）²=9．
故答案为：（x+1）²+（y+3）²=9或（x-1）²+（y-3）²=9

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，点到直线的距离公式，垂径定理及勾股定理．要求学生会利用待定系数法求圆的方程，根据垂径定理垂直于弦则平分弦，由弦的一半，圆的半径及弦心距构成的直角三角形，利用勾股定理解决问题．