Question

已知f(x)=

1

3

x3-x2+ax+m，其中a＞0，如果存在实数t，使f'（t）＜0，则f′(t+2)•f′(

2t+1

3

)的值（　　）

A．必为正数

B．必为负数

C．必为非负

D．必为非正

Answer 1

分析：先对f（x）求导，由已知条件a＞0，如果存在实数t，使f'（t）＜0，求出t与a的取值范围，进而比较出f′(

2t+1

3

)、f^′（t+2）与0的关系，从而得出答案．

解答：解：∵f(x)=

1

3

x3-x2+ax+m，∴f^′（x）=x²-2x+a．
∵存在实数t，使f'（t）＜0，a＞0，∴t²-2t+a＜0的解集不是空集，
∴△=4-4a＞0，解得a＜1，因此0＜a＜1．
令t²-2t+a=0，解得t=1±

1-a

，
∴t²-2t+a＜0的解集是{x|0＜1-

1-a

＜t＜1+

1-a

＜2}．
∵f^′（t+2）=（t+2）²-2（t+2）+a=t（t+2）+a，∴f^′（t+2）＞0；
∵f′(

2t+1

3

)=(

2t+1

3

)2-2×

2t+1

3

+a=

4t2-8t-5

9

+a，
∴f′(t)-f′(

2t+1

3

)=t2-2t-

4t2-8t-5

9

=

5(t-1)2

9

≥0，
∴f′(

2t+1

3

)≤f′(t)＜0，
∴f′(t+2)•f′(

2t+1

3

)＜0，
故选B．

点评：由已知得出a与t的取值范围和利用作差法比较两个数的大小是解题的关键．