【题目】已知函数,其中
为自然对数的底数.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)写出函数的单调递减区间(无需证明) ;
(Ⅲ)若实数满足
,则称
为
的二阶不动点,求函数
的二阶不动点的个数.
【答案】(Ⅰ)1;(Ⅱ),
;(Ⅲ)3.
【解析】
(Ⅰ)根据函数解析式,由内而外逐步代入即可求出结果;
(Ⅱ)根据题意,得到函数的解析式,进而可得出其单调递减区间;
(Ⅲ)先由题意,得到,分别讨论
,
,
三种情况,结合函数零点存在定理,即可求出结果.
(Ⅰ)因为,
,所以
,
所以.
.
(Ⅱ)因为,
当时,
,递减区间为:
;
当时,
,递减区间为
;
因此函数的单调递减区间为:
,
.
(Ⅲ)由题可得:.
当时,由
,记
,
则在
上单调递减,且
,
,
故在
上有唯一零点
,即函数
在
上有唯一的二阶不动点
.
当时,由
,得到方程的根为
,即函数
在
上有唯一的二阶不动点
.
当时,由
,记
,
则在
上单调递减,且
,
,
故在
上有唯一零点
,即函数
在
上有唯一的二阶不动点
.
综上所述,函数的二阶不动点有3个.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知抛物线的焦点到直线
的距离为
.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)设点是抛物线上的动点,若以点
为圆心的圆在
轴上截得的弦长均为4,求证:圆
恒过定点.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的中心在原点,焦点在
轴,离心率为
,且长轴长是短轴长的
倍.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设过椭圆
左焦点
的直线
交
于
,
两点,若对满足条件的任意直线
,不等式
恒成立,求
的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,正方形中,
,
与
交于
点,现将
沿
折起得到三棱锥
,
,
分别是
,
的中点.
(1)求证: ;
(2)若三棱锥的最大体积为
,当三棱锥
的体积为
,且二面角
为锐角时,求二面角
的正弦值.
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【题目】已知实数,定义域为
的函数
是偶函数,其中
为自然对数的底数.
(Ⅰ)求实数值;
(Ⅱ)判断该函数在
上的单调性并用定义证明;
(Ⅲ)是否存在实数,使得对任意的
,不等式
恒成立.若存在,求出实数
的取值范围;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知双曲线右支上的一点
,经过点
的直线与双曲线
的两条渐近线分别相交于
,
两点.若点
,
分别位于第一,四象限,
为坐标原点.当
时,
为( )
A. B.
C.
D.
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【题目】某公司为了确定下一年度投入某种产品的宣传费用,需了解年宣传费x(单位:万元)对年销量y(单位:吨)和年利润(单位:万元)的影响.对近6宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,3,4,5,6)的数据做了初步统计,得到如下数据:
年份 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
年宣传费x(万元) | 38 | 48 | 58 | 68 | 78 | 88 |
年销售量y(吨) | 16.8 | 18.8 | 20.7 | 22.4 | 24.0 | 25.5 |
经电脑模拟,发现年宣传费x(万元)与年销售量y(吨)之间近似满足关系式y=axb(a,b>0),即lny=blnx+lna.,对上述数据作了初步处理,得到相关的值如下表:
75.3 | 24.6 | 18.3 | 101.4 |
(Ⅰ)从表中所给出的6年年销售量数据中任选2年做年销售量的调研,求所选数据中至多有一年年销售量低于20吨的概率.
(Ⅱ)根据所给数据,求关于
的回归方程;
(Ⅲ) 若生产该产品的固定成本为200(万元),且每生产1(吨)产品的生产成本为20(万元)(总成本=固定成本+生产成本+年宣传费),销售收入为(万元),假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉),则2019年该公司应该投入多少宣传费才能使利润最大?(其中
)
附:对于一组数据,其回归直线
中的斜率和截距的最小二乘估计分别为
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【题目】以下判断正确的是 ( )
A. 函数为
上的可导函数,则
是
为函数
极值点的充要条件
B. 若命题为假命题,则命题
与命题
均为假命题
C. 若,则
的逆命题为真命题
D. 在中,“
”是“
”的充要条件
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