Question

已知等差数列{a_n}的各项均为正数，a₁=3，前n项和为S_n，{b_n}为等比数列，公比q=2，且a₂b₂=20，a₃b₃=56，
（1）求a_n与b_n
（2）求数列{a_nb_n}的前n项和T_n
（3）记C_n=

1

Sn-n

，若C₁+C₂+C₃+…+C_n≥m²-

3

2

对任意正整数n恒成立，求实数m 的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设{a_n}的公差为d，根据题意建立关于d与{b_n}首项b₁的方程组，解之可得b₁=d=2，从而得到a_n与b_n的表达式；
（2）由（1）得a_nb_n=（2n+1）2ⁿ，利用错位相减法结合等比数列的求和公式，即可算出{a_nb_n}的前n项和T_n的表达式；
（3）根据等差数列的前n项和的表达式，化简得到C_n=

1

Sn-n

=

1

n2+n

=

1

n

-

1

n+1

，从而利用裂项求和的方法求出C₁+C₂+C₃+…+C_n=1-

1

n+1

，得到当n=1时它的最小值为

1

2

．因此原不等式恒成立，即

1

2

≥m²-

3

2

，解之得-

2

≤m≤

2

，可得实数m的取值范围．

解答：解：（1）设{a_n}的公差为d，则

(3+d)•2b1=20 (3+2d)•4b1=56

，解之得b₁=d=2
∴数列{a_n}的通项为a_n=3+2（n-1）=2n+1；数列{b_n}的通项为b_n=2ⁿ
（2）由（1）得a_nb_n=（2n+1）2ⁿ
∴T_n=3×2+5×2²+7×2³+…+（2n+1）2ⁿ
两边都乘以2，得2T_n=3×2²+5×2³+7×2⁴+…+（2n+1）2ⁿ⁺¹，
两式相减，得
-T_n=6+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n+1）2ⁿ⁺¹，
=6+

8(1-2n-1)

1-2

-（2n+1）2ⁿ⁺¹=-2+（1-2n）2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（2n+1）2ⁿ⁺¹+2
（3）S_n=3n+

n(n-1)

2

×2=n²+2n
∴C_n=

1

Sn-n

=

1

n2+n

=

1

n

-

1

n+1

由此可得C₁+C₂+C₃+…+C_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

因此，当n=1时，C₁+C₂+C₃+…+C_n的最小值为

1

2

∵不等式C₁+C₂+C₃+…+C_n≥m²-

3

2

对任意正整数n恒成立，
∴

1

2

≥m²-

3

2

，解之得-

2

≤m≤

2

，即实数m的取值范围是[-

2

，

2

]．

点评：本题给出等差、等比数列，求它们的通项公式并求{a_nb_n}的前n项和T_n的表达式，讨论与之有关的不等式恒成立的问题．着重考查了等差等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法与裂项求和的方法和不等式恒成立等知识点，属于中档题．