Question

已知x=﹣2与x=4是函数f（x）=﹣x³+ax²+bx的两个极值点．

（1）求常数a、b的值；

（2）判断函数x=﹣2，x=4处的值是函数的极大值还是极小值，并说明理由．

Answer 1

考点：

函数在某点取得极值的条件．

专题：

导数的概念及应用．

分析：

（1）先对函数f（x）进行求导，由题意知﹣2，4是方程f'（x）=0的两实根，由韦达定理可求出a，b的值．

（2）将a，b的值代入导函数，然后根据导函数的符号及极值点的定义可确定是极大值还是极小值．

解答：

解：（1）f′（x）=﹣3x²+2ax+b．

由极值点的必要条件可知x=﹣2和x=4是方程f′（x）=0的两根，

则﹣2+4=，﹣2×4=，解得a=3，b=24．

（2）由（1）知，f′（x）=﹣3x²+6x+24=﹣3（x+2）（x﹣4），

当x＜﹣2或x＞4时，f′（x）＜0；

当﹣2＜x＜4时，f′（x）＞0．

∴当x=﹣2时f（x）取得极小值，x=4时f（x）取得极大值．

点评：

本题主要考查函数的单调性、极值点与其导函数之间的关系．属基础题．