Question

【题目】在正方体中，已知点在直线上运动，则下列四个命题中：①三棱锥的体积不变；②；③当为中点时，二面角 的余弦值为；④若正方体的棱长为2，则的最小值为；其中说法正确的是____________（写出所有说法正确的编号）

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

①∵，∴平面，得出上任意一点到平面的距离相等，所以判断命题①；

②由已知得出点P在面上的射影在上，根据线面垂直的判定和性质或三垂线定理，可判断命题②；

③当为中点时，以点D为坐标原点，建立空间直角系，如下图所示，运用二面角的空间向量求解方法可求得二面角的余弦值，可判断命题③；

④过作平面交于点，做点关于面对称的点，使得点在平面内，根据对称性和两点之间线段最短，可求得当点在点时，在一条直线上，取得最小值.可判断命题④.

①∵，∴平面，所以上任意一点到平面的距离相等，所以三棱锥的体积不变，所以①正确；
②在直线上运动时，点P在面上的射影在上，所以DP在面上的射影在上，又，所以，所以②正确；

③当为中点时，以点D为坐标原点，建立空间直角系，如下图所示，设正方体的棱长为2.

则:，，所以，

设面的法向量为，则，即，令，则，

设面的法向量为， ，即，

，由图示可知，二面角 是锐二面角，所以二面角的余弦值为，所以③不正确；

④过作平面交于点，做点关于面对称的点，使得点在平面内，

则，所以，当点在点时，在一条直线上，取得最小值.

因为正方体的棱长为2，所以设点的坐标为，，，所以，

所以，又所以，

所以，，，故④正确.
故答案为：①②④.