Question

一次围棋擂台赛，由一位职业围棋高手设擂做擂主，甲、乙、丙三位业余围棋高手攻擂．如果某一业余棋手获胜，或者擂主战胜全部业余棋手，则比赛结束．已知甲、乙、丙三人战胜擂主的概率分别为p₁，p₂，p₃，每人能否战胜擂主是相互独立的．
（1）求这次擂主能成功守擂（即战胜三位攻擂者）的概率；
（2）若按甲、乙、丙顺序攻擂，这次擂台赛共进行了x次比赛，求x得数学期望；
（3）假定p₃＜p₂＜p₁＜1，试分析以怎样的先后顺序出场，可使所需出场人员数的均值（数学期望）达到最小，并证明你的结论．

Answer 1

解：（1）设擂主能成功守擂的事件为A，三人攻擂获胜的事件为B_i，i=1，2，3，
则P（B_i）=p_i，
三人攻擂均失败的概率为（1﹣p₁）（1﹣p₂）（1﹣p₃）．
所以，擂主守擂成功的概率是P（A）=（1﹣p₁）（1﹣p₂）（1﹣p₃）
（2）比赛场数X=1，2，3．
X=1，比赛一场结束，则第一位业余棋手就获胜，其概率为P（X=1）=p₁；
X=2，比赛二场结束，则第一位业余棋手攻擂失败，第二位胜利，其概率是P（X=2）
=（1﹣p₁） p₂；
X=3，比赛三场结束，则第一，二位业余棋手攻擂失败，其概率为
P（X=3）=（1﹣p₁）（1﹣p₂），
E（X）=p₁+2（1﹣p₁） p₂+3（1﹣p₁）（1﹣p₂）=3﹣2p₁﹣p₂+p₁p₂．
（3）答按获胜概率从大到小的顺序出场，则所需出场人员数的均值为最小
下面证明以上结论．
设q₁，q₂，q₃是p₁，p₂，p₃的一个排列，如果按q₁，q₂，q₃有顺序出场，
由（2）可得期望 E（X）=3﹣2q₁﹣q₂+q₁q₂．
因为△=（3﹣2q₁﹣q₂+q₁q₂）﹣（3﹣2p₁﹣p₂+p₁p₂）=2（p₁﹣q₁）+（p₂﹣q₂）+q₁q₂﹣p₁p₂
=2（p₁﹣q₁）+（p₂﹣q₂）﹣（p₁﹣q₁）p₂﹣（p₂﹣q₂）q₁=（2﹣p₂） （p₁﹣q₁）+
（p₂﹣q₂）（1﹣q₁）≥（1﹣q₁）（ p₁﹣q₁）+（p₂﹣q₂）（1﹣q₁）
=（1﹣q₁）[（p₁+p₂）﹣（q₁+q₂）]≥0．等号成立当且仅当q₁=p₁，q₂=p₂．
所以，按获胜概率从大到小的顺序出场，所需出场人员数的均值为最小．