Question

已知以角B为钝角的△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，

m

=(a，2b)，

n

=(

3

，-sinA)，且

m

⊥

n

．
（1）求角B的大小；
（2）求cosA+cosC的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用

m

•

n

=0，结合正弦定理，求出sinB=

3

2

，B为钝角，所以角B=

2π

3

．
（2）利用和差化积化简cosA+cosC=2cos

A+C

2

cos

A-C

2

=

3

cos(C-

π

6

)，由（1）知A∈(0，

π

3

)，A+

π

3

∈(

π

3

，

2π

3

)，确定cosA+cosC的取值范围即可．

解答：解：（1）∵

m

⊥

n

．∴

m

•

n

=0，得

3

a-2bsinA=0（2分）
由正弦定理，得a=2RsinA，b=2RsinB，代入得：（3分）

3

sinA-2sinBsinA=0，sinA≠0，
∴sinB=

3

2

，（5分）
B为钝角，所以角B=

2π

3

．（7分）
（2）（理科）∵cosA+cosC=2cos

A+C

2

cos

A-C

2

=

3

cos(C-

π

6

)
（或：cosA+cosC=cosA+cos(

π

3

-A)=cosA+

1

2

cosA+

3

2

sinA=

3

sin(A+

π

3

)）（10分）
由（1）知A∈(0，

π

3

)，A+

π

3

∈(

π

3

，

2π

3

)，
∴sin(A+

π

3

)∈(

3

2

，1]（12分）
故cosA+cosC的取值范围是(

3

2

，

3

]

点评：本题是基础题，考查三角函数的化简与求值，余弦定理的应用，平面向量的数量积的应用，考查计算能力，常考题型．