Question

（2010•上饶二模）设函数f(x)=

x2+bx+c，(x≥0) 2，(x＜0)

，若f（4）=f（0），f（2）=-2．则函数F（x）=f（|x|）-|x|的零点个数为（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：把原函数零点的个数转化为方程的根，进而转化为两个函数图象交点的个数，数形结合，即可求解

解答：解：∵当x≥0时，f（x）=x²+bx+c，且f（4）=f（0）
∴对称轴为x=-

b

2

=2
∴b=-4
又∵f（2）=4-4×2+c=-2
∴c=2
∴当x≥0时，f（x）=x²-4x+2
又函数F（x）=f（|x|）-|x|的零点个数，即为方程F（x）=0的根的个数
即f（|x|）-|x|=0的根的个数
亦即f（|x|）=|x|的根的个数
设h（x）=f（|x|），g（x）=|x|（　　）
原函数零点的个数转化为函数y=h（x），y=g（x）的图象的交点的个数，
y=h（x），y=g（x）图象如图：
有4个不同的交点
故选D

点评：本题考察函数的零点，要注意函数的零点与方程的根，及函数图象与x轴交点的横坐标的关系，同时注意数形结合．作图象时要注意图象变换的方法，如平移变换、伸缩变换、对称变换等