Question

已知数列中，.
（1）求证：是等比数列，并求的通项公式；
（2）数列满足，数列的前n项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.

Answer 1

（1）；（2）.

试题分析：本题主要考查数列的证明、错位相减法、恒成立问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力和计算能力.第一问，将已知的递推公式进行变形，转化出的形式来证明，还可以根据等比数列的定义来证明；第二问，将第一问得到的结论代入，先得到表达式，利用错位相减法，得到数列的前n项和的值，再利用恒成立问题求的值，在最后这一步，需要对n进行讨论，分奇数、偶数两种情况讨论.
试题解析：（1）由知，，
又是以为首项，为公比的等比数列，   
                6分
（2），   
， 
两式相减得
，
                            9分
                      10分
若n为偶数，则              11分
若n为奇数，则        13分
                           14分