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    某公司全年的纯利润为b元，其中一部分作为奖金发给n位职工，奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩（工作业绩均不相同）从大到小，由1到n排序，第1位职工得奖金
    b
    n
    元，然后将余额除以n发给第2位职工，按此方案将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金．
    （1）设ak（1≤k≤n）为第k位职工所得奖金额，试求a2、a3，并用k、n和b表示ak（不必证明）；
    （2）证明：ak＞ak+1（k=1，2，…，n-1），并解释此不等式关于分配原则的实际意义；
    （3）发展基金与n和b有关，记为Pn（b）．对常数b，当n变化时，求
    lim
    n→∞
    Pn（b）（可用公式
    lim
    n→∞
    （1-
    1
    n
    ）n=
    1
    e
    ）．
    分析：（1）根据题意可知a1进而利用余额除以n发给第2位职工，求得a2=
    1
    n
    （1-
    1
    n
    ）•b，同理可求得a3．以此类推发现数列成等比数列，公比为1-
    1
    n
    ，进求得ak．
    （2）根据（1）中的ak进而代入ak-ak+1结果大于0，由题意可知业绩大的在数列的前面，且拿的奖金多，进而可判断出此奖金分配方案体现了按劳分配的原则．
    （3）根据题意可分别表示出f1（b），f2（b），推断出fk（b），进而利用极限的基本运算求得
    lim
    n→∞
    Pn（b）．
    解答：（1）解：a1=
    b
    n
    ，a2=
    1
    n
    （1-
    1
    n
    ）•b，a3=
    1
    n
    （1-
    1
    n
    ）2•b，…，ak=
    1
    n
    （1-
    1
    n
    ）k-1•b．
    （2）证明：ak-ak+1=
    1
    n2
    （1-
    1
    n
    ）k-1•b＞0，此奖金分配方案体现了按劳分配的原则．
    （3）解：设fk（b）表示发给第k位职工后所剩余额，
    则f1（b）=（1-
    1
    n
    ）•b，f2（b）=（1-
    1
    n
    ）2•b，…，fk（b）=（1-
    1
    n
    ）k•b，
    得Pn（b）=fn（b）=（1-
    1
    n
    ）n•b，
    故
    lim
    n→∞
    Pn（b）=
    b
    e
    ．
    点评：本题主要考查了数列的递推式和数列的应用．考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力．
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    （Ⅰ）设ak（1≤k≤n）为第k位职工所得奖金额，试求a2、a3，并用k、n和b表示ak；（不必证明）

    （Ⅱ）证明ak＞ak＋1（k=1，2，…，n－1），并解释此不等式关于分配原则的实际意义；

    （Ⅲ）发展基金与n和b有关，记为Pn（b）．对常数b，当n变化时，求Pn（b）．

     

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    b
    n
    元，然后将余额除以n发给第2位职工，按此方案将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金．
    （1）设ak（1≤k≤n）为第k位职工所得奖金额，试求a2、a3，并用k、n和b表示ak（不必证明）；
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    （3）发展基金与n和b有关，记为Pn（b）．对常数b，当n变化时，求
    lim
    n→∞
    Pn（b）（可用公式
    lim
    n→∞
    （1-
    1
    n
    ）n=
    1
    e
    ）．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    21.某公司全年的纯利润为b元，其中一部分作为奖金发给n位职工.奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩（工作业绩均不相同）从大到小.由1至n排序，第1位职工得奖金元，然后再将余额除以n发给第2位职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工.并将最后剩余部分作为公司发展基金.

     

    （1）设ak（1≤k≤n）为第k位职工所得奖金额，试求a2、a3，并用k、n和b表示ak ；（不必证明）

     

    （2）证明a k＞a k＋1(k＝1，2，…，n－1)，并解释此不等式关于分配原则的实际意义；

     

    （3）发展基金与n和b有关，记为Pn（b）.对常数b，当n变化时，求Pn（b）.

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    科目：高中数学 来源：2006年高考第一轮复习数学：14.6 函数的连续性及极限的应用（解析版） 题型：解答题

    某公司全年的纯利润为b元，其中一部分作为奖金发给n位职工，奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩（工作业绩均不相同）从大到小，由1到n排序，第1位职工得奖金元，然后将余额除以n发给第2位职工，按此方案将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金．
    （1）设ak（1≤k≤n）为第k位职工所得奖金额，试求a2、a3，并用k、n和b表示ak（不必证明）；
    （2）证明：ak＞ak+1（k=1，2，…，n-1），并解释此不等式关于分配原则的实际意义；
    （3）发展基金与n和b有关，记为Pn（b）．对常数b，当n变化时，求Pn（b）（可用公式（1-）n=）．

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