Question

某银行的一个营业窗口可办理四类业务，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，经统计以往100位顾客办理业务所需的时间（t），结果如下：

类别	A类	B类	C类	D类
顾客数（人）	20	30	40	10
时间t（分钟/人）	2	3	4	6

注：银行工作人员在办理两项业务时的间隔时间忽略不计，并将频率视为概率．
（Ⅰ）求银行工作人员恰好在第6分钟开始办理第三位顾客的业务的概率；
（Ⅱ）用X表示至第4分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

解：（Ⅰ）设Y表示银行工作人员办理业务需要的时间，用频率估计概率得Y的分布列如下：

Y	2	3	4	6
P

用A表示事件“银行工作人员恰好在第6分钟开始办理第三位顾客的业务”，则事件A有两种情形：
①办理第一位业务所需的时间为2分钟，且办理第二位业务所需的时间为3分钟；
②办理第一位业务所需的时间为3分钟，且办理第二位业务所需的时间为2分钟；
∴P（A）=P（Y=2）P（Y=3）+P（Y=3）P（Y=2）==；
（Ⅱ）由题意可知X的取值为0，1，2，
X=0对应办理第一位的业务需时超过4分钟，故P（X=0）=P（Y＞4）=，
X=1对应办理第一位业务所需的时间为2分钟，且办理第二位业务所需的时间超过分钟，
或办理第一位业务所需的时间为3分钟，或办理第一位业务所需的时间为4分钟，
故P（X=1）=P（Y=2）P（Y＞2）+P（Y=3）+P（Y=4）=++=，
X=2对应办理两位顾客业务时间均为2分钟，故P（X=2）=P（Y=2）P（Y=2）==，
故X的分布列为：

X	0	1	2
P

故EX==
分析：（Ⅰ）设Y表示银行工作人员办理业务需要的时间，用频率估计概率得Y的分布列，用A表示事件“银行工作人员恰好在第6分钟开始办理第三位顾客的业务”，则事件A有两种情形：
①办理第一、二位业务所需的时间分别为2、3分钟；②办理第一、二位业务所需的时间分别为3、2分钟；故P（A）=P（Y=2）P（Y=3）+P（Y=3）P（Y=2），计算可得；
（Ⅱ）由题意可知X的取值为0，1，2，X=0对应办理第一位的业务需时超过4分钟，X=1对应办理第一位业务所需的时间为2分钟，且办理第二位业务所需的时间超过分钟，或办理第一位业务所需的时间为3分钟，或办理第一位业务所需的时间为4分钟，X=2对应办理两位顾客业务时间均为2分钟，分别可得其概率，进而可得分布列和数学期望故EX．
点评：本题考查离散型随机变量及其分布列，涉及数学期望的求解和频率分布表的应用，属中档题．