Question

5．证明：设m是任一正整数，则a_m=$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{3}$$+\frac{1}{4}$+$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{{2}^{m}}$不是整数．

Answer 1

分析 分别在原式两边乘以M，再乘以N（最小公倍数），再根据整数的性质和假设的方式，使得命题得以证明．

解答 证明：当m=1时，a₁=$\frac{1}{2}$，显然不是整数，结论成立．
下面证明，当m≥2时，a_m=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2^m}$也不可能是整数．
设S=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2^m}$，令M=2^m，在S两边同时乘以M得：MS=$\frac{M}{2}$+$\frac{M}{3}$+$\frac{M}{4}$+…+1，
等式右边的每一项$\frac{M}{k}$（k=1，2，3，…，2^m），要么是整数，要么是一个分母为奇数的不可约分数，
再来考察那些分母为奇数的不可约分数的项．
因为m≥2，故在所有的分母当中（都是奇数）必定存在一个最大的奇素数，
设它为p，这样在分母中去掉p，设余下的奇数的最小公倍数为N，
在MS=$\frac{M}{2}$+$\frac{M}{3}$+$\frac{M}{4}$+…+1两边再同时乘以N，得到MNS=$\frac{MN}{2}$+$\frac{MN}{3}$+$\frac{MN}{4}$+…+N．
等式右边的每一项$\frac{MN}{k}$（k=1，2，3，…，…，2^m），仅当k=p时，$\frac{MN}{k}$不是整数，其他的项都是整数．
所以等式右边最后得到的不是整数，因此，等式左边的MNS也不是整数，
显然，若S是整数，那么就与MNS不是整数相矛盾！
所以a_m不可能是整数．证毕．

点评 本题主要考查了整数的性质，涉及到整除，素数，最小公倍数等知识点，通过多次构造使得命题得以证明，属于难题．