Question

【题目】已知一个分段函数可利用函数 来表示，例如要表示一个分段函数 ，可将函数g（x）表示为g（x）=xS（x﹣2）+（﹣x）S（2﹣x）．现有一个函数f（x）=（﹣x2+4x﹣3）S（x﹣1）+（x2﹣1）S（1﹣x）．
（1）求函数f（x）在区间[0，4]上的最大值与最小值；
（2）若关于x的不等式f（x）≤kx对任意x∈[0，+∞）都成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可知 ，

当1≤x≤4时，f（x）=﹣（x﹣2）2+1，则f（x）在[1，2]上递增，在[2，4]上递减；

当0≤x＜1时，f（x）=x2﹣1，则f（x）在[0，1）上递增，

而f（0）=﹣1，f（2）=1，f（4）=﹣3，所以f（x）max=f（2）=1，f（x）min=f（4）=﹣3

（2）解：由图可知，

当直线y=kx与抛物线y=﹣x2+4x﹣3只有一个交点时，令kx=﹣x2+4x﹣3，即x2+（k﹣4）x+3=0，由△=0，得（k﹣4）2﹣12=0，得k=4±2 ，

结合图像，可知当k≥4﹣2 时，关于x的不等式f（x）≤kx对任意x∈[0，+∞）都成立

【解析】（1）由题意可知 ，利用二次函数的单调性可求得函数f（x）在区间[0，4]上的最大值与最小值；（2）在同一坐标系中作出y=f（x）与y=kx的图像，令kx=﹣x2+4x﹣3，即x2+（k﹣4）x+3=0，由△=0可求得k的值，结合图像可求得，对任意x∈[0，+∞）都成立时，实数k的取值范围．
【考点精析】本题主要考查了函数的最值及其几何意义的相关知识点，需要掌握利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值才能正确解答此题．