Question

已知a是实数，函数f（x）=2ax²+2x-3-a，如果函数y=f（x）在区间[-1，1]上有零点，求a的取值范围．

Answer 1

分析：y=f（x）在区间[-1，1]上有零点转化为（2x²-1）a=3-2x在[-1，1]上有解，把a用x表示出来，转化为求函数y=

2x2-1

3-2x

在[-1，1]上的值域，再用分离常数法求函数y=

2x2-1

3-2x

在[-1，1]的值域即可．

解答：解：a=0时，不符合题意，所以a≠0，
又∴f（x）=2ax²+2x-3-a=0在[-1，1]上有解，?（2x²-1）a=3-2x在[-1，1]上有解?

1

a

=

2x2-1

3-2x

在[-1，1]上有解，问题转化为求函数y=

2x2-1

3-2x

[-1，1]上的值域；
设t=3-2x，x∈[-1，1]，则2x=3-t，t∈[1，5]，y=

1

2

•

(t-3)2-2

t

=

1

2

(t+

7

t

-6)，
设g(t)=t+

7

t

．g′(t)=

t2-7

t2

，t∈[1，

7

)时，g'（t）＜0，此函数g（t）单调递减，
t∈(

7

，5]时，g'（t）＞0，此函数g（t）单调递增，
∴y的取值范围是[

7

-3，1]，
∴f（x）=2ax²+2x-3-a=0在[-1，1]上有解?

1

a

∈[

7

-3，1]?a≥1或a≤-

3+ 7

2

．
故a≥1或a≤-

3+ 7

2

．

点评：本题是一道中档题，主要考查函数的零点及函数的零点存在性定理，函数的零点的研究就可转化为相应方程根的问题，函数与方程的思想得到了很好的体现．