Question

5．直线2x+3y-6=0交x、y轴于A、B两点，试在直线y=-x上求一点P，使|PA|+|PB|最小，则P点的坐标是（0，0）．

Answer 1

分析 由题意，A（3，0），B（0，2），求得点B（0，2）关于直线y=-x的对称点B′的坐标，用两点式求得AB′的方程，再由直线AB′的方程和直线y=-x的方程联立方程组，求得点P的坐标．

解答 解：由题意，A（3，0），B（0，2）
设点B（0，2）关于直线y=-x的对称点B′（m，n），
则由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n-2}{m}•（-1）=-1}\\{\frac{2+n}{2}=-\frac{m}{2}}\end{array}\right.$，求得$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{n=0}\end{array}\right.$，可得B′（-2，0），
∴AB′的直线方程为：y=0
∴联立方程可得：$\left\{\begin{array}{l}{y=0}\\{y=-x}\end{array}\right.$，求得x=y=0
∴点P的坐标为（0，0）．
故答案为：（0，0）．

点评 本题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的方法，利用了垂直、和中点在对称轴上这两个条件，求两条直线的交点坐标，属于基础题．