【题目】对于定义域为D的函数y=f(x),若同时满足下列条件:
①f(x)在D内单调递增或单调递减;
②存在区间[a,b]D,使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b];那么把y=f(x)(x∈D)叫闭函数.
(1)求闭函数y=﹣x3符合条件②的区间[a,b]
(2)判断函数f(x)= 是否为闭函数?并说明理由;
(3)若y=k+ 是闭函数,求实数k的范围.
【答案】
(1)解:由题意,y=﹣x3在[a,b]上递减,则 ,
所以,所求的区间为[﹣1,1]
(2)解: ,在(﹣∞,﹣1)上单调递增,在(﹣1,+∞)上单调递增,
所以,函数在定义域上不单调递增或单调递减,从而该函数不是闭函数
(3)解:若 是闭函数,则存在区间[a,b],在区间[a,b]上,
函数f(x)的值域为[a,b],即 ,
∴ 的两个实数根,
即方程x2﹣(2k+1)x+k2﹣2=0(x≥﹣2,x≥k)有两个不等的实根.
当 .
当 此不等式组无解.
综上所述,
【解析】(1)根据函数的单调性得到关于a,b的方程组,解出即可;(2)将f(x)变形,得到f(x)的单调区间,根据闭函数的定义判断即可;(3)根据闭函数的定义得到方程x2﹣(2k+1)x+k2﹣2=0(x≥﹣2,x≥k)有两个不等的实根,通过讨论k,得到关于k的不等式组,解出即可.
【考点精析】关于本题考查的函数单调性的判断方法和函数单调性的性质,需要了解单调性的判定法:①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量,且x1<x2;②判定f(x1)与f(x2)的大小;③作差比较或作商比较;函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集才能得出正确答案.
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【题目】已知椭圆: 的离心率与双曲线: 的离心率互为倒数,且经过点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)如图,已知是椭圆上的两个点,线段的中垂线的斜率为且与交于点, 为坐标原点,求证: 三点共线.
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【题目】已知函数y=f(x)满足以下条件:①定义在正实数集上;②f( )=2;③对任意实数t,都有f(xt)=tf(x)(x∈R+).
(1)求f(1),f( )的值;
(2)求证:对于任意x,y∈R+ , 都有f(xy)=f(x)+f(y);
(3)若不等式f(loga(x﹣3a)﹣1)﹣f(﹣ )≥﹣4对x∈[a+2,a+ ]恒成立,求实数a的取值范围.
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【题目】已知矩形ABCD的长AB=4,宽AD=3,将其沿对角线BD折起,得到四面体A﹣BCD,如图所示,给出下列结论:
①四面体A﹣BCD体积的最大值为 ;
②四面体A﹣BCD外接球的表面积恒为定值;
③若E、F分别为棱AC、BD的中点,则恒有EF⊥AC且EF⊥BD;
④当二面角A﹣BD﹣C为直二面角时,直线AB、CD所成角的余弦值为 ;
⑤当二面角A﹣BD﹣C的大小为60°时,棱AC的长为 .
其中正确的结论有(请写出所有正确结论的序号).
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【题目】为了迎接青奥会,南京将在主干道统一安装某种新型节能路灯,该路灯由灯柱和支架组成.在如图所示的直角坐标系中,支架ACB是抛物线y2=2x的一部分,灯柱CD经过该抛物线的焦点F且与路面垂直,其中C在抛物线上,B为抛物线的顶点,DH表示道路路面,BF∥DH,A为锥形灯罩的顶,灯罩轴线与抛物线在A处的切线垂直.安装时要求锥形灯罩的顶到灯柱的距离是1.5米,灯罩的轴线正好通过道路路面的中线.
(1)求灯罩轴线所在的直线方程;
(2)若路宽为10米,求灯柱的高.
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【题目】点M,N分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BB1和B1C1的中点,则MN和CD1所成角的大小为( )
A.30°
B.60°
C.90°
D.120°
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