Question

求函数f（x）=-（

1

4

）^x+4(

1

2

)^x+5的值域及其单调区间．

Answer 1

考点：复合函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：利用换元法结合复合函数单调性的性质即可得到结论．

解答： 解：设t=（

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）^x，则t＞0，则函数t=（

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2

）^x，为减函数，
则函数等价为y=g（t）=-t²+4t+5=-（t-2）²+9，
∵t＞0，∴y≤9，即函数的值域为（-∞，9]，
∵函数的单调增区间为（-∞，2]，由=（

1

2

）^x≤2，解得x≥-2，根据复合函数单调性之间的关系可得此时函数单调递减，
即函数f（x）的减区间为（-∞，2]．
∵函数的单调减区间为[2，+∞），由=（

1

2

）^x≥2，解得x≤-2，根据复合函数单调性之间的关系可得此时函数单调递增，
即函数f（x）的增区间为[2，+∞）．

点评：本题主要考查复合函数单调性的判断以及函数值域的求解，利用换元法结合一元二次函数和指数函数的图象和性质是解决本题的关键．