Question

将编号为1、2、3、4的四个小球放入甲、乙、丙三只盒子内．
（1）若三只盒子都不空，且3号球必须在乙盒内有多少种不同的放法；
（2）若1号球不在甲盒内，2号球不在乙盒内，有多少种不同放法．

Answer 1

解：（1）由题意知三只盒子都不空，且3号球必须在乙盒内，
其余的小球有两种不同的分法，可以分成1，1，1，或者1，2，这两种情况是互斥的，
当三个球在三个盒子中全排列有A₃³=6种结果，
当三个球分成两份，在甲和丙盒子中排列，共有C₃²A₂²=6种结果
∴由分类计数原理知共有6+6=12种结果．
（2）由题意知本题是一个分步计数问题，
∵首先1号球不放在甲盒中，有2种放法，
2号球不在乙盒，有2种结果，
3号球有3种结果
4号球有3种结果，
∴根据分步计数原理知共有2×2×3×3=36种结果，
答：（1）若三只盒子都不空，且3号球必须在乙盒内有12种不同的放法；
（2）若1号球不在甲盒内，2号球不在乙盒内，有36种不同放法．
分析：（1）1，2，4号的小球有两种不同的分法，可以分成1，1，1，或者1，2，这两种情况是互斥的，当三个球在三个盒子中全排列有A₃³种结果，当三个球分成两份，在甲和丙盒子中排列，共有C₃²A₂²种结果，相加得到结果．
（2）由题意知本题是一个分步计数问题，首先1号球不放在甲盒中，有2种放法，2号球不在乙盒，有2种结果，3和4号球有3种结果，相乘得到结果．
点评：本题考查排列组合的实际应用，本题解题的关键是注意题目中有限制条件的元素的排法，先排列有限制条件的，本题是一个中档题目